Hypebol là một trong những đường conic quan trọng trong hình học giải tích. Việc nắm vững Phương Trình Chính Tắc Của Hypebol giúp chúng ta dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về phương trình chính tắc của hypebol, cách xác định và các ví dụ, bài tập minh họa.
1. Định Nghĩa và Phương Trình Chính Tắc của Hypebol
Hypebol là tập hợp các điểm M trên mặt phẳng sao cho hiệu các khoảng cách từ M đến hai điểm cố định $F_1$ và $F_2$ (gọi là các tiêu điểm) có giá trị tuyệt đối không đổi và bằng $2a$, với $a$ là một số dương.
Giả sử hypebol có hai tiêu điểm nằm trên trục Ox, đối xứng nhau qua gốc tọa độ O, tức là $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$, với $c > 0$. Khi đó, phương trình chính tắc của hypebol có dạng:
$frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$, với $a > 0$, $b > 0$ và $c^2 = a^2 + b^2$.
Trong đó:
- $a$ là độ dài bán trục thực.
- $b$ là độ dài bán trục ảo.
- $c$ là tiêu cự.
- $2a$ là độ dài trục thực.
- $2b$ là độ dài trục ảo.
- $2c$ là tiêu cự.
2. Các Yếu Tố Quan Trọng của Hypebol
Để lập phương trình chính tắc của hypebol, ta cần xác định các yếu tố sau:
- Tiêu điểm: $F_1(-c; 0)$ và $F_2(c; 0)$.
- Tiêu cự: $2c$.
- Độ dài trục thực: $2a$.
- Độ dài trục ảo: $2b$.
- Liên hệ giữa a, b, c: $c^2 = a^2 + b^2$.
3. Phương Pháp Lập Phương Trình Chính Tắc Hypebol
Để lập phương trình chính tắc của hypebol, ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Xác định các yếu tố đã cho của hypebol (tiêu điểm, tiêu cự, độ dài trục thực, độ dài trục ảo, hoặc các điểm thuộc hypebol).
- Bước 2: Dựa vào các yếu tố đã biết, tìm ra giá trị của $a$ và $b$. Sử dụng công thức $c^2 = a^2 + b^2$ nếu cần thiết.
- Bước 3: Thay giá trị của $a$ và $b$ vào phương trình chính tắc: $frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$.
4. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết tiêu cự bằng 10 và độ dài trục thực bằng 8.
Hướng dẫn giải:
- Ta có tiêu cự $2c = 10 Rightarrow c = 5$.
- Độ dài trục thực $2a = 8 Rightarrow a = 4$.
- Sử dụng công thức $c^2 = a^2 + b^2$, ta có $5^2 = 4^2 + b^2 Rightarrow b^2 = 25 – 16 = 9 Rightarrow b = 3$.
- Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $frac{x^2}{16} – frac{y^2}{9} = 1$.
Ví dụ 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có một tiêu điểm là $F_2(5; 0)$ và đi qua điểm $A(6; frac{5sqrt{11}}{4})$.
Hướng dẫn giải:
- Ta có một tiêu điểm là $F_2(5; 0) Rightarrow c = 5 Rightarrow c^2 = 25$.
- Điểm $A(6; frac{5sqrt{11}}{4})$ thuộc hypebol nên thỏa mãn phương trình $frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$.
- Thay tọa độ điểm A vào phương trình, ta được: $frac{36}{a^2} – frac{275}{16b^2} = 1$.
- Ta có $c^2 = a^2 + b^2 Rightarrow 25 = a^2 + b^2 Rightarrow b^2 = 25 – a^2$.
- Thay $b^2 = 25 – a^2$ vào phương trình $frac{36}{a^2} – frac{275}{16b^2} = 1$, ta được: $frac{36}{a^2} – frac{275}{16(25 – a^2)} = 1$.
- Giải phương trình trên, ta tìm được $a^2 = 16 Rightarrow a = 4$.
- Suy ra $b^2 = 25 – 16 = 9 Rightarrow b = 3$.
- Vậy phương trình chính tắc của hypebol là $frac{x^2}{16} – frac{y^2}{9} = 1$.
5. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1: Hypebol (H) có phương trình chính tắc $frac{x^2}{9} – frac{y^2}{16} = 1$. Tìm tọa độ các tiêu điểm của (H).
Bài 2: Viết phương trình chính tắc của hypebol, biết độ dài trục thực bằng 6 và độ dài trục ảo bằng 8.
Bài 3: Cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $frac{x^2}{a^2} – frac{y^2}{b^2} = 1$. Biết (H) đi qua điểm $M(5; 4)$ và có tiêu cự bằng $2sqrt{41}$. Tìm $a$ và $b$.
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hypebol (H) có phương trình $frac{x^2}{25} – frac{y^2}{9} = 1$. Tìm các đỉnh và tiêu điểm của (H).
Bài 5: Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) biết (H) có một tiêu điểm là $F_1(-sqrt{13}; 0)$ và đi qua điểm $M(6; 2sqrt{3})$.
6. Ứng Dụng của Hypebol
Hypebol có nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
- Thiết kế: Ứng dụng trong thiết kế các công trình kiến trúc, cầu đường.
- Vật lý: Mô tả quỹ đạo của các vật thể chuyển động dưới tác dụng của lực hấp dẫn.
- Toán học: Nghiên cứu các tính chất hình học.
Kết luận:
Nắm vững định nghĩa, phương trình chính tắc và phương pháp xác định các yếu tố của hypebol là rất quan trọng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn kiến thức đầy đủ và hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình chính tắc của hypebol. Chúc các bạn học tốt!