Phương Trình Bậc Hai Một ẩn là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình toán lớp 9 và có ứng dụng rộng rãi trong các bài toán thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các dạng bài thường gặp và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức về phương trình bậc hai.
A. Phương Pháp Giải Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn Tổng Quát
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát: ax² + bx + c = 0, trong đó a, b, c là các hệ số và a ≠ 0. Để giải phương trình này, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Xác định chính xác các hệ số a, b, và c.
Bước 2: Tính giá trị của biệt thức Delta (∆) theo công thức: ∆ = b² – 4ac.
Bước 3: Dựa vào giá trị của ∆ để kết luận về nghiệm của phương trình:
-
Nếu ∆ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
-
Nếu ∆ = 0: Phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau):
Alt text: Công thức nghiệm kép x bằng trừ b chia hai a, minh họa nghiệm của phương trình bậc hai khi delta bằng không.
Nghiệm kép được tính bằng công thức: x = -b / 2a. -
Nếu ∆ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Alt text: Biểu thức tính hai nghiệm phân biệt x1 và x2 của phương trình bậc hai, nhấn mạnh vai trò của căn delta trong việc xác định nghiệm.
Các nghiệm được tính bằng công thức:
- x₁ = (-b + √∆) / 2a
- x₂ = (-b – √∆) / 2a
Ví dụ 1: Giải phương trình x² + 3x + 3 = 0
Giải:
- a = 1; b = 3; c = 3
- ∆ = b² – 4ac = 3² – 4 1 3 = 9 – 12 = -3
- Vì ∆ < 0, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 2: Giải phương trình x² + x – 5 = 0
Giải:
-
a = 1; b = 1; c = -5
-
∆ = b² – 4ac = 1² – 4 1 (-5) = 1 + 20 = 21 > 0
-
Vì ∆ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Alt text: Tính nghiệm x1 và x2 của phương trình bậc hai với a bằng 1, b bằng 1 và c bằng âm 5, sử dụng công thức nghiệm tổng quát.
- x₁ = (-1 + √21) / 2
- x₂ = (-1 – √21) / 2
Ví dụ 3: Giải phương trình x² + 2√2x + 2 = 0
Giải:
-
a = 1; b = 2√2; c = 2
-
∆ = b² – 4ac = (2√2)² – 4 1 2 = 8 – 8 = 0
-
Vì ∆ = 0, phương trình có nghiệm kép:
Alt text: Cách tính nghiệm kép x của phương trình bậc hai với hệ số b chứa căn bậc hai, delta bằng không, sử dụng công thức x bằng trừ b chia hai a.
- x = -2√2 / 2 = -√2
B. Công Thức Nghiệm Thu Gọn (Khi b = 2b’)
Khi hệ số b là một số chẵn, ta có thể sử dụng công thức nghiệm thu gọn để đơn giản hóa việc tính toán. Đặt b’ = b / 2, khi đó phương trình bậc hai có dạng: ax² + 2b’x + c = 0
Tính biệt thức Delta phẩy (∆’) theo công thức: ∆’ = (b’)² – ac
-
Nếu ∆’ < 0: Phương trình vô nghiệm.
-
Nếu ∆’ = 0: Phương trình có nghiệm kép:
Alt text: Biểu thức nghiệm kép x bằng trừ b phẩy chia a, công thức rút gọn khi hệ số b của phương trình bậc hai là số chẵn.
- x = -b’ / a
-
Nếu ∆’ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Alt text: Công thức tính hai nghiệm phân biệt x1 và x2 khi sử dụng delta phẩy, giúp đơn giản hóa tính toán khi hệ số b là số chẵn.
- x₁ = (-b’ + √∆’) / a
- x₂ = (-b’ – √∆’) / a
Ví dụ 4: Giải phương trình 3x² – 2√3x – 3 = 0
Giải:
-
a = 3; b’ = -√3; c = -3
-
∆’ = (b’)² – ac = (-√3)² – 3 * (-3) = 3 + 9 = 12 > 0
-
Vì ∆’ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Alt text: Tính nghiệm x1 và x2 của phương trình bậc hai với công thức nghiệm thu gọn, hệ số b đã được chia đôi để giảm độ phức tạp tính toán.
- x₁ = (√3 + √12) / 3 = (√3 + 2√3) / 3 = √3
- x₂ = (√3 – √12) / 3 = (√3 – 2√3) / 3 = -√3 / 3
C. Các Dạng Đặc Biệt Của Phương Trình Bậc Hai Một Ẩn
-
Phương trình bậc hai khuyết b: ax² + c = 0
Để giải phương trình này, ta chuyển vế và rút gọn:
Alt text: Cách giải phương trình bậc hai không có hệ số b, biến đổi để tìm x bình phương và sau đó khai căn để tìm nghiệm.
- Nếu -c/a > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x₁ = √(−c/a) và x₂ = -√(−c/a).
- Nếu -c/a = 0: Phương trình có nghiệm kép x = 0.
- Nếu -c/a < 0: Phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:
-
a) 2x² + 3 = 0 (Vô nghiệm vì 2x² luôn dương)
-
b) -7x² = 0 (Nghiệm kép x = 0)
-
c) 3x² – 12 = 0
Alt text: Minh họa cách giải phương trình bậc hai dạng khuyết b, chuyển vế, chia hệ số và khai căn để tìm ra hai nghiệm phân biệt.
- 3x² = 12 => x² = 4 => x₁ = 2, x₂ = -2
-
Phương trình bậc hai khuyết c: ax² + bx = 0
Để giải phương trình này, ta đặt x làm nhân tử chung:
Alt text: Bước phân tích nhân tử x trong phương trình bậc hai khuyết c, dẫn đến hai trường hợp để tìm ra hai nghiệm của phương trình.
- x(ax + b) = 0
- => x = 0 hoặc ax + b = 0 => x = -b/a
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
-
a) 3x² + 8x = 0
Alt text: Giải phương trình bậc hai khuyết c, phân tích thành nhân tử và tìm ra hai nghiệm là x bằng 0 và x bằng trừ 8 phần 3.
- x(3x + 8) = 0 => x = 0 hoặc x = -8/3
-
b) 5x² – 10x = 0
Alt text: Giải phương trình bậc hai không có c, phân tích nhân tử x và tìm nghiệm x bằng 0 và x bằng 2.
- x(5x – 10) = 0 => x = 0 hoặc x = 2
D. Bài Tập Trắc Nghiệm
Câu 1: Một nghiệm của phương trình 3x² + 5x – 2 = 0 là:
A. -2 B. -1 C. -5 D. 0
Giải: Chọn A. -2 (Thử trực tiếp hoặc giải phương trình)
Câu 2: Số nghiệm của phương trình 3x² – 6x + 3 = 0 là:
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
Giải: Chọn C. 1 (∆ = 0)
Câu 3: Giả sử x₁, x₂ (x₁ > x₂) là hai nghiệm của phương trình 5x² – 6x + 1 = 0. Tính 2x₁ + 5x₂
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
Giải:
Alt text: Tính x1 và x2 từ phương trình bậc hai, sau đó thay vào biểu thức để tính kết quả cuối cùng.
Chọn D. 3
Câu 4: Số thực nào sau đây là nghiệm của phương trình x² – x + 8 = 0
A. 2 B. 10 C. -15 D. Không có
Giải: Chọn D. Không có (∆ < 0)
Câu 5: Giả sử x₁ và x₂ là hai nghiệm của phương trình x² – 7x – 8 = 0. Tính 2x₁
A. -2 B. 1 C. -1 D. 6
Giải:
Alt text: Giải phương trình bậc hai để tìm x1, sau đó tính giá trị của 2 nhân x1.
Chọn A. -2
Câu 6: Nghiệm của phương trình 3x² + 15 = 0 là:
Alt text: Các lựa chọn nghiệm của phương trình bậc hai, bao gồm các giá trị số và khả năng vô nghiệm.
Giải: Chọn D. Vô nghiệm
Câu 7: Nghiệm của phương trình x² + 13x = 0 là:
A. 13 và -13 B. 0 và -13 C. 0 và 13 D. Vô nghiệm
Giải:
Alt text: Các bước giải phương trình bậc hai khuyết c bằng cách đặt nhân tử chung và tìm ra hai nghiệm.
Chọn B. 0 và -13
Câu 8: Cho phương trình 2x² + 4x + 1 = -x² – x – 1. Tính |x₁ – x₂|
Alt text: Bước biến đổi phương trình bậc hai và tính delta để tìm nghiệm, sau đó tính giá trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm.
Giải:
Alt text: Tính x1, x2 và giá trị tuyệt đối của hiệu hai nghiệm từ phương trình bậc hai đã biến đổi.
Chọn A. 1/3
Câu 9: Cho phương trình x² – 10x + 21 = 0. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Phương trình vô nghiệm B. Phương trình có nghiệm không nguyên
C. Phương trình có 1 nghiệm D. Phương trình có 2 nghiệm nguyên
Giải:
Alt text: Tính delta và các nghiệm của phương trình, sau đó so sánh để chọn ra khẳng định đúng.
Chọn D. Phương trình có 2 nghiệm nguyên
Câu 10: Số nghiệm của phương trình 4x² – 6x = -2x là:
A. 1 B. 0 C. 2 D. 3
Giải:
Alt text: Biến đổi phương trình bậc hai về dạng chuẩn, phân tích nhân tử và tìm ra số nghiệm.
Chọn C. 2
E. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) -3x²+4x-4=0 b) 5x²-107x+549=0
c) x²-(2+√3)x+2√3=0 d) 3x²+3=2(x+1)
e) (2x-√2)²-1=(x+1)(x-1) f) 12x(x+1)=(x-1)²
Bài 2. Cho phương trình mx² – 2(m – 1)x + m – 3 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
a) Có hai nghiệm phân biệt;
b) Có nghiệm kép;
c) Vô nghiệm;
d) Có đúng một nghiệm;
e) Vô nghiệm.
Bài 3. Số nghiệm của các phương trình sau:
a) x² – 6x + 8 = 0;
b) 9x² – 12x + 4 = 0;
c) -3x²+2√2x-5=0;
d) 2x²-(1-2√2)x-√2=0
Bài 4. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0;
b) (m – 2)x² – 2(m + 1)x + m = 0.
Bài 5. Cho phương trình (m – 2)x² – 2(m + 1)x + m = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép và tính 2x₁ + x₂
Với các phương pháp và bài tập trên, hy vọng bạn sẽ tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến phương trình bậc hai một ẩn! Chúc bạn học tốt!
