Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức toán học nền tảng và quan trọng. Việc hiểu rõ điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán liên quan. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về vấn đề này, kèm theo các ví dụ và bài tập tự luyện.
Điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm
Xét phương trình bậc hai tổng quát:
ax² + bx + c = 0 (với a ≠ 0)
Để phương trình này có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là:
Δ > 0
Trong đó, Δ (delta) là biệt thức, được tính theo công thức:
Δ = b² – 4ac
Vậy, phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi b² – 4ac > 0.
Các trường hợp khác của nghiệm phương trình bậc hai
Ngoài trường hợp có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0), phương trình bậc hai còn có thể xảy ra các trường hợp sau:
- Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép (hay còn gọi là một nghiệm duy nhất). Nghiệm kép được tính theo công thức: x = -b/2a
- Δ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
Lưu ý quan trọng về điều kiện có nghiệm
- Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có nghiệm khi Δ ≥ 0. Điều này bao gồm cả trường hợp có hai nghiệm phân biệt (Δ > 0) và nghiệm kép (Δ = 0).
- Phương trình bậc hai có nghiệm duy nhất khi a khác 0 và Δ = 0. Trường hợp a = 0 thì phương trình trở thành phương trình bậc nhất.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình (m – 1)x² + 3x – 1 = 0 có nghiệm.
Lời giải:
- Trường hợp 1: m = 1, phương trình trở thành 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1/3. Vậy m = 1 thỏa mãn.
- Trường hợp 2: m ≠ 1, ta có Δ = 3² – 4(m-1)(-1) = 9 + 4(m-1) = 4m + 5
Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0 ⇔ 4m + 5 ≥ 0 ⇔ m ≥ -5/4
Kết hợp hai trường hợp, ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình (x² – 3x + m)(x – 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình (x² – 3x + m)(x – 1) = 0 tương đương với:
x – 1 = 0 hoặc x² – 3x + m = 0
⇔ x = 1 hoặc x² – 3x + m = 0 (1)
Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Điều này tương đương với:
- Δ > 0 (để (1) có hai nghiệm phân biệt)
- f(1) ≠ 0 (để hai nghiệm này khác 1)
Trong đó, f(x) = x² – 3x + m
Giải hệ điều kiện trên:
Vậy m < 9/4 và m ≠ 2.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình mx² – mx + 1 = 0 có nghiệm.
Lời giải:
- Trường hợp 1: m = 0, phương trình trở thành 1 = 0 (vô nghiệm).
- Trường hợp 2: m ≠ 0, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
Δ = (-m)² – 4 m 1 ≥ 0
⇔ m² – 4m ≥ 0
Kết hợp với điều kiện m ≠ 0, ta được:
Bài tập tự luyện
- Tìm m để phương trình x² – 2(m + 1)x + m² + 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
- Tìm m để phương trình (m – 2)x² + 2(m – 1)x + m = 0 có nghiệm kép.
- Tìm m để phương trình x² + (m + 2)x + m + 1 = 0 vô nghiệm.
- Tìm m để phương trình (m+1)x² – 2(m-1)x + m – 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt dương.
- Tìm m để phương trình (m-3)x² + 2(m-1)x + m = 0 có hai nghiệm trái dấu.
Hiểu rõ điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm là một bước quan trọng trong việc nắm vững kiến thức toán học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những thông tin hữu ích và giúp bạn tự tin hơn khi giải các bài toán liên quan.
