1. Định Nghĩa Phép Đối Xứng Trục
Định nghĩa: Phép đối Xứng Trục là một phép biến hình trong đó một đường thẳng d (gọi là trục đối xứng) đóng vai trò trung tâm. Phép biến hình này biến mỗi điểm nằm trên d thành chính nó, và biến mỗi điểm không thuộc d thành một điểm sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng nối điểm đó và ảnh của nó.
- Trục đối xứng (d): Đường thẳng cố định, đóng vai trò “gương phản chiếu”.
- Ký hiệu: Phép đối xứng trục d thường được ký hiệu là Đd.
- Tính chất: Nếu hình H có ảnh là H’ qua phép đối xứng trục d, ta nói H và H’ đối xứng nhau qua d.
Nhận xét: Cho đường thẳng d và điểm M, gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên d. Khi đó, M’ là ảnh của M qua phép đối xứng trục d khi và chỉ khi $overrightarrow{M_{0}M’}=overrightarrow{M_{0}M}$.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của đường thẳng AB và các điểm A, B qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:
Ảnh của A và B lần lượt là A'(1; 2) và B'(3; -1) qua phép đối xứng trục Ox. A’B’ là ảnh của AB qua phép đối xứng trục Ox.
Phương trình đường thẳng A’B’: $frac{x – 1}{3 – 1} = frac{y – 2}{-1 – 2} Leftrightarrow frac{x – 1}{2}=frac{y – 2}{-3}Leftrightarrow 3x + 2y – 7=0$
Vậy, đường thẳng AB có ảnh là đường thẳng 3x + 2y – 7 = 0.
2. Biểu Thức Tọa Độ Của Phép Đối Xứng Trục
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục có dạng như sau:
-
Đối xứng qua trục Ox: $begin{cases}x’ = x \ y’ = -y end{cases}$
-
Đối xứng qua trục Oy: $begin{cases}x’ = -x \ y’ = y end{cases}$
3. Tính Chất Của Phép Đối Xứng Trục
Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Điều này dẫn đến các tính chất quan trọng sau:
- Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
- Biến đường thẳng thành đường thẳng.
- Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.
- Biến tam giác thành tam giác bằng nó.
4. Trục Đối Xứng Của Một Hình
Một đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó, ta nói H là hình có trục đối xứng. Ví dụ, hình vuông có bốn trục đối xứng, hình tròn có vô số trục đối xứng (bất kỳ đường kính nào).
Ví dụ: Cho điểm M(1; 3), tìm tọa độ M’ là ảnh của M qua phép đối xứng qua trục Oy và tọa độ M” là ảnh của M’ qua trục Ox.
Giải:
- Ảnh của M(1; 3) qua trục Oy là M'(-1; 3).
- Ảnh của M'(-1; 3) qua trục Ox là M”(-1; -3).
5. Các Dạng Bài Tập Về Phép Đối Xứng Trục Lớp 11 (Có Lời Giải)
5.1. Dạng 1: Xác định ảnh của điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, tam giác,… qua phép đối xứng trục
Để xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục, ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
- Dựa vào định nghĩa: Xác định ảnh của các điểm đặc biệt (ví dụ, các đỉnh của tam giác, các điểm mút của đoạn thẳng), sau đó sử dụng các tính chất để suy ra ảnh của toàn bộ hình.
- Sử dụng biểu thức tọa độ: Áp dụng trực tiếp biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục (đối với trục Ox, Oy) để tìm tọa độ ảnh.
- Sử dụng biểu thức vectơ: Dựa vào quan hệ vectơ giữa điểm, hình chiếu của nó trên trục đối xứng và ảnh của nó.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxyz, cho điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox.
Giải:
- Ảnh của A qua phép đối xứng trục Ox là A'(1; 2).
- Ảnh của B qua phép đối xứng trục Ox là B'(3; -1).
Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox là đường thẳng A’B’, có phương trình: $frac{x – 1}{3 – 1}=frac{y – 2}{-1 – 2} Rightarrow 3x + 2y – 7=0$
5.2. Dạng 2: Tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục
Để tìm tọa độ điểm, phương trình đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục, ta thực hiện các bước sau:
- Xác định các yếu tố đặc trưng: Xác định tâm và bán kính của đường tròn, hoặc các điểm đặc biệt của đường thẳng.
- Tìm ảnh của các yếu tố đặc trưng: Sử dụng phép đối xứng trục để tìm ảnh của tâm đường tròn hoặc các điểm đặc biệt của đường thẳng.
- Viết phương trình ảnh: Dựa vào các yếu tố đặc trưng đã tìm được, viết phương trình của đường tròn hoặc đường thẳng ảnh.
Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxyz, cho đường tròn (C): $(x – 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$. Viết phương trình đường tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép đối xứng trục Oy.
Giải:
Đường tròn (C) có tâm I(2; -5) và bán kính R = 4.
Ảnh của I(2; -5) qua phép đối xứng trục Oy là I'(-2; -5).
Vậy, phương trình đường tròn (C’) là: $(x + 2)^{2}+(y + 5)^{2}=16$.
5.3. Dạng 3: Nhận biết và chỉ ra các hình có trục đối xứng
Một hình có trục đối xứng nếu tồn tại một đường thẳng chia hình đó thành hai phần mà khi “gấp” hình theo đường thẳng đó, hai phần này hoàn toàn trùng nhau.
Ví dụ: Trong các hình dưới đây, hình nào có trục đối xứng?
Giải:
- Hình (a) và (b) không có trục đối xứng.
- Hình (c) có trục đối xứng như hình vẽ:
Phép đối xứng trục là một khái niệm quan trọng trong hình học và có nhiều ứng dụng thực tế trong kiến trúc, thiết kế và nghệ thuật. Nắm vững định nghĩa, tính chất và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh tự tin giải quyết các bài toán và hiểu sâu hơn về thế giới hình học xung quanh.
