Pháp tuyến là một khái niệm quan trọng trong hình học giải tích, đặc biệt khi nghiên cứu về đường thẳng và các đường cong. Bài viết này sẽ đi sâu vào khái niệm “Pháp Tuyến Là đường Thẳng”, cách xác định vectơ pháp tuyến và ứng dụng của nó trong các bài toán liên quan.
Định Nghĩa Pháp Tuyến Là Đường Thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình tổng quát:
ax + by + c = 0Pháp tuyến là đường thẳng vuông góc với đường thẳng d. Vectơ có hướng vuông góc với d được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của d. Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả chúng đều cùng phương.
Vectơ Pháp Tuyến
Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, ký hiệu là n→, có tọa độ là:
n→ = (a; b)Ảnh minh họa vectơ pháp tuyến n=(a;b) của đường thẳng d: ax + by + c = 0, thể hiện mối quan hệ vuông góc.
Cách Xác Định Vectơ Pháp Tuyến
-
Từ phương trình tổng quát: Nếu đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0, thì vectơ pháp tuyến của d là n→ = (a; b).
-
Từ vectơ chỉ phương: Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương u→ = (u1; u2), thì vectơ pháp tuyến của d có thể là n→ = (-u2; u1) hoặc n→ = (u2; -u1). Vì vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương vuông góc với nhau.
-
Từ hai điểm thuộc đường thẳng: Nếu đường thẳng d đi qua hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2), thì vectơ chỉ phương của d là AB→ = (x2 – x1; y2 – y1). Từ đó, vectơ pháp tuyến của d là n→ = (y2 – y1; x1 – x2) hoặc n→ = (y1 – y2; x2 – x1).
Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Đường thẳng song song với trục Ox: Đường thẳng này có phương trình y = m (m là hằng số). Vectơ pháp tuyến của nó là n→ = (0; 1) hoặc n→ = (0; -1).
- Đường thẳng song song với trục Oy: Đường thẳng này có phương trình x = m (m là hằng số). Vectơ pháp tuyến của nó là n→ = (1; 0) hoặc n→ = (-1; 0).
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d có phương trình 3x – 4y + 5 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có vectơ pháp tuyến của d là n→ = (3; -4).
Ví dụ 2: Đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 6). Tìm vectơ pháp tuyến của d.
Giải:
Vectơ chỉ phương của d là AB→ = (3 – 1; 6 – 2) = (2; 4). Vậy, vectơ pháp tuyến của d có thể là n→ = (-4; 2) hoặc n→ = (4; -2). Ta có thể rút gọn thành n→ = (-2; 1) hoặc n→ = (2; -1).
Ứng Dụng Của Vectơ Pháp Tuyến
-
Viết phương trình đường thẳng: Khi biết một điểm thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến của nó, ta có thể viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
-
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng: Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến bằng 0.
-
Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Vectơ pháp tuyến được sử dụng trong công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
Ví dụ 3: Cho điểm M(1; 1) và đường thẳng d: x + y – 2 = 0. Tính khoảng cách từ M đến d.
Giải:
Áp dụng công thức khoảng cách:
d(M, d) = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)Trong đó, M(x0; y0) = (1; 1) và d: x + y – 2 = 0.
d(M, d) = |1*1 + 1*1 - 2| / √(1² + 1²) = 0 / √2 = 0Vậy khoảng cách từ M đến d là 0, tức là điểm M nằm trên đường thẳng d.
Bài Tập Vận Dụng
- Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: 5x + 2y – 7 = 0.
- Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; 3) và B(4; 7).
- Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M(1; -2) và có vectơ pháp tuyến n→ = (3; 4).
- Cho hai đường thẳng d1: 2x – y + 1 = 0 và d2: x + 2y – 3 = 0. Chứng minh rằng d1 và d2 vuông góc với nhau.
Hình ảnh minh họa đường thẳng delta và các vectơ pháp tuyến của nó, thể hiện tính vô số và cùng phương.
Kết Luận
Hiểu rõ khái niệm “pháp tuyến là đường thẳng” và cách xác định vectơ pháp tuyến là rất quan trọng trong việc giải quyết các bài toán hình học giải tích. Nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn dễ dàng hơn trong việc viết phương trình đường thẳng, xác định vị trí tương đối của các đường thẳng và giải quyết nhiều bài toán liên quan khác.
