Phân Thức Là Gì? Định Nghĩa, Tính Chất và Ứng Dụng

Phân thức là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là đại số. Hiểu rõ về phân thức sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về phân thức, từ định nghĩa cơ bản đến các tính chất và ứng dụng thường gặp.

Định Nghĩa Phân Thức Đại Số

Một phân thức đại số (thường được gọi đơn giản là phân thức) là một biểu thức có dạng (frac{A}{B}), trong đó (A) và (B) là các đa thức, và (B) khác 0.

(A) được gọi là tử thức (hoặc tử số).
(B) được gọi là mẫu thức (hoặc mẫu số).

Phân thức đại số có dạng A/B, trong đó A là tử thức và B là mẫu thức.

Lưu ý quan trọng:

Mỗi đa thức cũng có thể được xem là một phân thức với mẫu thức bằng 1. Ví dụ, đa thức (x + 1) có thể được viết dưới dạng phân thức (frac{x+1}{1}).

Ví dụ:

(frac{x}{x + 1}) là một phân thức đại số.
Số 5 cũng là một phân thức đại số, có thể viết là (frac{5}{1}).

Hai Phân Thức Bằng Nhau

Hai phân thức (frac{A}{B}) và (frac{C}{D}) (với điều kiện (B ne 0) và (D ne 0)) được gọi là bằng nhau nếu tích chéo của chúng bằng nhau, tức là:

(frac{A}{B} = frac{C}{D}) khi và chỉ khi (A.D = B.C)

Tính Chất Cơ Bản Của Phân Thức Đại Số

Phân thức đại số có hai tính chất cơ bản sau:

Nhân cả tử và mẫu với cùng một đa thức khác 0:

(frac{A}{B} = frac{A.M}{B.M}) (trong đó (M) là một đa thức khác 0).
Chia cả tử và mẫu cho cùng một nhân tử chung khác 0:

(frac{A}{B} = frac{A:N}{B:N}) (trong đó (N) là một nhân tử chung khác đa thức 0).

Quy Tắc Đổi Dấu

Đổi dấu cả tử và mẫu của một phân thức sẽ tạo ra một phân thức mới có giá trị bằng với phân thức ban đầu:

(frac{A}{B} = frac{-A}{-B})

Ngoài ra, chúng ta còn có các quy tắc đổi dấu khác:

Đổi dấu tử số và đổi dấu phân thức: (frac{A}{B} = -frac{-A}{B})
Đổi dấu mẫu số và đổi dấu phân thức: (frac{A}{B} = -frac{A}{-B})
Đổi dấu mẫu số: (frac{A}{-B} = -frac{A}{B})

Các Dạng Toán Thường Gặp Về Phân Thức

Tìm điều kiện để phân thức xác định:
- Phương pháp: Phân thức (frac{A}{B}) xác định khi mẫu thức (B ne 0).
Tìm giá trị của biến số (x) để phân thức (frac{A}{B}) nhận một giá trị (m) cho trước:
- Bước 1: Tìm điều kiện để phân thức xác định: (B ne 0).
- Bước 2: Giải phương trình (frac{A}{B} = m) để tìm (x).
- Bước 3: So sánh kết quả với điều kiện xác định và kết luận.
Chứng minh hai phân thức bằng nhau hoặc tìm giá trị của (x) để hai phân thức bằng nhau:
- Sử dụng các kiến thức về tính chất của phân thức:
  - (frac{A}{B} = frac{C}{D}) nếu (A.D = B.C)
  - (frac{A}{B} = frac{A.M}{B.M}) (với (M) là một đa thức khác 0)
  - (frac{A}{B} = frac{A:N}{B:N}) (với (N) là một nhân tử chung khác đa thức 0)
  - (frac{A}{B} = frac{-A}{-B})

Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định của phân thức (frac{x+2}{x-3}).

Phân thức này xác định khi (x – 3 ne 0), tức là (x ne 3).

Ví dụ 2: Chứng minh rằng (frac{x^2 – 1}{x+1} = x-1) với (x ne -1).

Ta có: (frac{x^2 – 1}{x+1} = frac{(x-1)(x+1)}{x+1}).
Vì (x ne -1), ta có thể rút gọn (x+1) ở tử và mẫu, suy ra (frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1).

Bài Tập Vận Dụng

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn củng cố kiến thức về phân thức:

Phân thức nào sau đây không phải là phân thức đại số?
- A. (frac{x}{x^2+1})
- B. (frac{1}{x})
- C. (x^3 – 2x + 1)
- D. (frac{x+1}{0})
Tìm điều kiện xác định của phân thức (frac{2x}{x^2 – 4}).
Cho phân thức (frac{x^2 + 4x + 4}{x+2}). Rút gọn phân thức này.

Lời giải:

Đáp án D. Vì mẫu thức bằng 0.
Điều kiện xác định: (x ne 2) và (x ne -2).
Rút gọn: (frac{x^2 + 4x + 4}{x+2} = frac{(x+2)^2}{x+2} = x+2) (với (x ne -2)).

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về khái niệm phân thức, các tính chất và ứng dụng của nó. Chúc bạn học tốt!