Công Thức Tọa Độ Đỉnh Parabol và Ứng Dụng Giải Bài Tập

Tổng Quan Về Parabol và Các Yếu Tố Quan Trọng

Parabol, một khái niệm quen thuộc trong toán học, đặc biệt là chương trình lớp 10, đóng vai trò quan trọng trong nhiều bài toán và ứng dụng thực tế. Để giải quyết các bài toán liên quan đến parabol, việc nắm vững công thức tọa độ đỉnh, tọa độ giao điểm với các trục tọa độ là vô cùng cần thiết. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn chi tiết về các công thức này, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn tự tin chinh phục mọi bài toán về parabol.

Đường parabol được định nghĩa là tập hợp các điểm cách đều một điểm cố định (tiêu điểm) và một đường thẳng cố định (đường chuẩn). Phương trình tổng quát của parabol có dạng:

y = ax² + bx + c

Trong đó, a, b, và c là các hệ số, với a ≠ 0. Hình dạng của parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số a: nếu a > 0, parabol có bề lõm hướng lên trên; nếu a < 0, parabol có bề lõm hướng xuống dưới. Điểm thấp nhất (nếu a > 0) hoặc cao nhất (nếu a < 0) của parabol được gọi là đỉnh.

Công Thức Tọa Độ Đỉnh Parabol

Đỉnh của parabol là điểm quan trọng nhất, giúp xác định vị trí và hình dạng của đồ thị. Tọa độ đỉnh I(x_I; y_I) của parabol y = ax² + bx + c được tính theo công thức:

x_I = -b / 2a
y_I = -Δ / 4a

Trong đó, Δ = b² – 4ac là biệt thức của phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0. Việc xác định chính xác tọa độ đỉnh parabol là bước quan trọng để vẽ đồ thị và giải các bài toán liên quan.

Xác Định Giao Điểm của Parabol Với Các Trục Tọa Độ

Để xác định giao điểm của parabol với trục tung (Ox), ta thay x = 0 vào phương trình parabol y = ax² + bx + c. Khi đó, y = c, và giao điểm là A(0; c). Điểm A này luôn tồn tại, bất kể giá trị của a, b, và c.

Để xác định giao điểm của parabol với trục hoành (Oy), ta giải phương trình ax² + bx + c = 0. Số lượng và tọa độ giao điểm phụ thuộc vào giá trị của biệt thức Δ:

Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, parabol không cắt trục hoành.
Nếu Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép x = -b / 2a, parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm B(-b / 2a; 0).
Nếu Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂, parabol cắt trục hoành tại hai điểm B₁(x₁; 0) và B₂(x₂; 0).

Ví Dụ Minh Họa Cách Tính Tọa Độ Đỉnh và Giao Điểm

Ví dụ 1: Cho parabol y = x² – 4x + 3. Hãy xác định tọa độ đỉnh và giao điểm với các trục tọa độ.

Tọa độ đỉnh:
- x_I = -(-4) / (2 * 1) = 2
- Δ = (-4)² – 4 1 3 = 4
- y_I = -4 / (4 * 1) = -1
- Vậy đỉnh của parabol là I(2; -1).
Giao điểm với trục tung: Thay x = 0 vào phương trình, ta được y = 3. Vậy giao điểm với trục tung là A(0; 3).
Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình x² – 4x + 3 = 0, ta được hai nghiệm x₁ = 1 và x₂ = 3. Vậy giao điểm với trục hoành là B₁(1; 0) và B₂(3; 0).

Ví dụ 2: Cho parabol y = -2x² + 8x – 8. Tìm tọa độ đỉnh và xét sự tương giao với trục hoành.

Tọa độ đỉnh:
- x_I = -8 / (2 * -2) = 2
- Δ = 8² – 4 (-2) (-8) = 0
- y_I = -0 / (4 * -2) = 0
- Vậy đỉnh của parabol là I(2; 0).
Giao điểm với trục hoành: Vì Δ = 0, phương trình -2x² + 8x – 8 = 0 có nghiệm kép x = 2. Do đó, parabol tiếp xúc với trục hoành tại điểm (2; 0).

Bài Tập Tự Luyện Về Parabol

Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

Xác định tọa độ đỉnh và giao điểm với các trục tọa độ của parabol y = 3x² + 6x – 9.
Tìm tọa độ đỉnh của parabol y = -x² + 5x – 4 và xét sự tương giao với trục hoành.
Cho parabol y = 2x² – 4x + m. Xác định giá trị của m để parabol tiếp xúc với trục hoành.

Nắm vững các công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để bạn tự tin giải mọi bài toán về parabol. Chúc bạn thành công!