Nhị thức Newton là một công thức toán học quan trọng, đặc biệt trong chương trình Toán lớp 10, giúp khai triển các biểu thức có dạng (a + b)^n. Bài viết này sẽ đi sâu vào công thức nhị thức Newton với n=10, các ứng dụng và bài tập liên quan.
Công Thức Nhị Thức Newton Tổng Quát
Công thức nhị thức Newton tổng quát có dạng:
(a + b)^n = ∑[k=0 đến n] C(n, k) a^(n-k) b^k
Trong đó:
- n là số mũ nguyên dương.
- a và b là các số thực hoặc biểu thức đại số.
- C(n, k) là tổ hợp chập k của n, còn được gọi là hệ số nhị thức, được tính bằng công thức: C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)
- ∑[k=0 đến n] ký hiệu tổng từ k=0 đến k=n.
Nhị Thức Newton với n = 10
Khi n = 10, công thức nhị thức Newton trở thành:
(a + b)^10 = C(10, 0)a^10 + C(10, 1)a^9b + C(10, 2)a^8b^2 + C(10, 3)a^7b^3 + C(10, 4)a^6b^4 + C(10, 5)a^5b^5 + C(10, 6)a^4b^6 + C(10, 7)a^3b^7 + C(10, 8)a^2b^8 + C(10, 9)ab^9 + C(10, 10)b^10
Alt: Sơ đồ cây trực quan giúp hiểu rõ quá trình khai triển nhị thức Newton, với các nhánh thể hiện sự kết hợp của các số hạng.
Tính các hệ số nhị thức:
Để khai triển đầy đủ, ta cần tính các hệ số nhị thức C(10, k) với k từ 0 đến 10.
- C(10, 0) = 1
- C(10, 1) = 10
- C(10, 2) = 45
- C(10, 3) = 120
- C(10, 4) = 210
- C(10, 5) = 252
- C(10, 6) = 210
- C(10, 7) = 120
- C(10, 8) = 45
- C(10, 9) = 10
- C(10, 10) = 1
Vậy, khai triển đầy đủ của (a + b)^10 là:
(a + b)^10 = a^10 + 10a^9b + 45a^8b^2 + 120a^7b^3 + 210a^6b^4 + 252a^5b^5 + 210a^4b^6 + 120a^3b^7 + 45a^2b^8 + 10ab^9 + b^10
Ứng Dụng của Nhị Thức Newton
Nhị thức Newton có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác. Dưới đây là một số ứng dụng phổ biến:
-
Tính toán gần đúng: Khi b có giá trị nhỏ so với a, ta có thể sử dụng một vài số hạng đầu của khai triển để tính gần đúng (a + b)^n.
-
Chứng minh đẳng thức: Nhị thức Newton được sử dụng để chứng minh nhiều đẳng thức tổ hợp và đại số.
-
Tìm hệ số trong khai triển: Xác định hệ số của một số hạng cụ thể trong khai triển là một bài toán thường gặp.
-
Giải các bài toán về xác suất: Nhị thức Newton liên quan mật thiết đến phân phối nhị thức trong xác suất thống kê.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm hệ số của số hạng chứa x^5 trong khai triển (2x + 1)^10.
Trong khai triển (2x + 1)^10, số hạng tổng quát có dạng:
C(10, k) (2x)^(10-k) 1^k = C(10, k) 2^(10-k) x^(10-k)
Để số hạng chứa x^5, ta cần 10 – k = 5, suy ra k = 5.
Vậy hệ số của x^5 là: C(10, 5) 2^(10-5) = 252 2^5 = 252 * 32 = 8064.
Ví dụ 2: Tính giá trị gần đúng của (1.02)^10.
Ta có (1.02)^10 = (1 + 0.02)^10. Sử dụng một vài số hạng đầu của khai triển nhị thức Newton:
(1 + 0.02)^10 ≈ C(10, 0) 1^10 + C(10, 1) 1^9 (0.02) + C(10, 2) 1^8 * (0.02)^2
= 1 + 10 0.02 + 45 0.0004 = 1 + 0.2 + 0.018 = 1.218
Alt: Hình ảnh bài tập ví dụ về việc áp dụng nhị thức Newton để tìm hệ số và tính giá trị gần đúng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách sử dụng công thức.
Bài Tập Tự Luyện
- Khai triển (x – 2)^10.
- Tìm hệ số của x^3 trong khai triển (3x + 2)^10.
- Tính giá trị gần đúng của (0.99)^10.
Kết Luận
Nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt với trường hợp n=10. Việc nắm vững công thức và các ứng dụng của nó sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn cái nhìn tổng quan và sâu sắc về nhị thức Newton.
