Công thức Nhị Thức Newton là một công cụ mạnh mẽ trong toán học, đặc biệt quan trọng trong chương trình lớp 10 và các ứng dụng cao hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về công thức, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.
1. Công Thức Nhị Thức Newton
Ảnh: Minh họa công thức khai triển nhị thức Newton tổng quát, thể hiện tổng sigma từ k=0 đến n của tổ hợp chập k của n nhân a mũ n trừ k nhân b mũ k.
Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có công thức nhị thức Newton như sau:
(a+b)n=∑k=0nCnkan-kbk=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
Trong đó:
- Cnk là tổ hợp chập k của n, được tính bằng công thức: Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
- Quy ước: a0 = b0 = 1.
Lưu ý quan trọng:
- Số các hạng tử trong khai triển là n + 1.
- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
- Các hệ số của các hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.
- Số hạng thứ k+1 (số hạng tổng quát) của khai triển là: Tk+1=Cnkan-kbk.
Hệ quả quan trọng:
- Với a = b = 1, ta có: 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn. Công thức này cho biết tổng các hệ số trong khai triển (1+x)^n bằng 2^n.
- Với a = 1, b = -1, ta có: 0=Cn0-Cn1+…+(-1)kCnk+…+(-1)nCnn.
2. Các Dạng Khai Triển Cơ Bản của Nhị Thức Newton
Ảnh: Liệt kê các khai triển nhị thức Newton cho các trường hợp n=2, n=3, n=4, bao gồm cả (a+b)^n và (a-b)^n.
Dưới đây là một số dạng khai triển nhị thức Newton cơ bản mà bạn nên nắm vững:
- (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
- (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
- (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
- (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
- (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4
- (a – b)4 = a4 – 4a3b + 6a2b2 – 4ab3 + b4
3. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức nhị thức Newton, chúng ta sẽ xem xét một số ví dụ cụ thể:
Ví dụ 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (1 + x)4
b) (x – 1)5
c) (2x + y)4
d) (x – 3y)5
Giải:
a) (1 + x)4 = C4014+C4113x+C4212x2+C431x3+C44x4 = 1 + 4x + 6×2 + 4×3 + x4
b) (x – 1)5 = x5 – 5×4 + 10×3 – 10×2 + 5x – 1
c) (2x + y)4 = C40(2x)4+C41(2x)3.y+C42(2x)2.y2+C43(2x).y3+C44y4 = 16×4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4
d) (x – 3y)5 = x5 – 5×4(3y) + 10×3(3y)2 – 10×2(3y)3 + 5x(3y)4 – (3y)5 = x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5
Ví dụ 2: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (2x – 1)4.
Giải:
Số hạng tổng quát của khai triển (2x – 1)4 là:
Tk+1 = C4k(2x)4-k(-1)k = (-1)kC4k24-kx4-k
Để tìm số hạng chứa x3, ta giải phương trình:
4 – k = 3 => k = 1
Vậy số hạng chứa x3 là: (-1)1C4123x3 = -32×3
Ví dụ 3: Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (2 + 3x)5.
Giải:
Số hạng tổng quát của khai triển (2 + 3x)5 là:
Tk+1 = C5k25-k(3x)k = C5k25-k3kxk
Để tìm hệ số của số hạng chứa x4, ta giải phương trình:
k = 4
Vậy hệ số của số hạng chứa x4 là: C5425-434 = 810
Ví dụ 4: Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)5.
Giải:
Đặt (1 – 2x)5 = a0 + a1x + a2x2 + … + a5x5.
Thay x = 1, ta được tổng các hệ số: a0 + a1 + a2 + … + a5 = (1 – 2)5 = -1
Ảnh: Trình bày chi tiết các bước giải một bài toán khai triển nhị thức Newton, bao gồm việc xác định các hệ số và tính toán kết quả cuối cùng.
4. Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập tự luyện giúp bạn củng cố kiến thức về nhị thức Newton:
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x – 3)4
b) (x + 2y)4
c) (1x+x3)4
d) (xy + 2)5
Bài 2: Tìm hệ số của x4 trong khai triển của (3x – 1)5.
Bài 3: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0,02)4 để tính giá trị gần đúng của 0,984.
Bài 4: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x+2×4)n biết Cn1+Cn2=15.
5. Ứng Dụng của Nhị Thức Newton
Công thức nhị thức Newton không chỉ là một công cụ toán học thuần túy mà còn có nhiều ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:
- Xác suất thống kê: Tính xác suất của các sự kiện trong các bài toán Bernoulli.
- Khoa học máy tính: Thiết kế các thuật toán và phân tích độ phức tạp của chúng.
- Vật lý: Tính toán các đại lượng vật lý trong các hệ thống phức tạp.
- Kinh tế: Mô hình hóa các quá trình kinh tế và dự báo các xu hướng thị trường.
Nắm vững công thức nhị thức Newton và các ứng dụng của nó sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán khó và mở rộng kiến thức trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Chúc bạn học tốt!
