Nguyên hàm là một khái niệm then chốt trong chương trình Toán Giải Tích lớp 12, đặc biệt quan trọng khi nghiên cứu về hàm số. Các bài tập về nguyên hàm xuất hiện thường xuyên trong các đề thi THPT Quốc gia. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về “Nguyên Hàm Của U”, bao gồm công thức, tính chất, các phương pháp tính toán và bài tập minh họa.
1. Lý Thuyết Về Nguyên Hàm
1.1. Định Nghĩa Nguyên Hàm
Cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng K. Hàm số $F(x)$ được gọi là nguyên hàm của $f(x)$ trên K nếu $F'(x) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc K.
Ví dụ: Hàm số $F(x) = sin(x)$ là một nguyên hàm của $f(x) = cos(x)$ vì $(sin(x))’ = cos(x)$.
1.2. Tính Chất Của Nguyên Hàm
Cho $f(x)$ và $g(x)$ là hai hàm số liên tục trên K. Khi đó:
- $int [f(x) + g(x)] dx = int f(x) dx + int g(x) dx$
- $int kf(x) dx = k int f(x) dx$ (với $k$ là hằng số khác 0)
Ví dụ:
$int sin^2(x) dx = int frac{1 – cos(2x)}{2} dx = frac{1}{2} int dx – frac{1}{2} int cos(2x) dx = frac{x}{2} – frac{sin(2x)}{4} + C$
2. Tổng Hợp Công Thức Nguyên Hàm
2.1. Bảng Công Thức Nguyên Hàm Cơ Bản
2.2. Bảng Công Thức Nguyên Hàm Nâng Cao
2.3. Bảng Công Thức Nguyên Hàm Mở Rộng
3. Bảng Công Thức Nguyên Hàm Lượng Giác
4. Các Phương Pháp Tính Nguyên Hàm Nhanh
4.1. Nguyên Hàm Từng Phần
Công thức: $int u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) – int v(x) u'(x) dx$ hoặc viết gọn: $int u dv = uv – int v du$
Các trường hợp thường gặp:
- Dạng 1: $int P(x) e^{ax} dx$, $int P(x) sin(ax) dx$, $int P(x) cos(ax) dx$ (P(x) là đa thức). Đặt $u = P(x)$, $dv$ là phần còn lại.
- Dạng 2: $int P(x) ln(x) dx$, $int P(x) arcsin(x) dx$, $int P(x) arctan(x) dx$. Đặt $u = ln(x)$, $arcsin(x)$, hoặc $arctan(x)$, $dv$ là phần còn lại.
Ví dụ: Tìm $int x sin(x) dx$
Đặt $u = x$, $dv = sin(x) dx$. Suy ra $du = dx$, $v = -cos(x)$.
Khi đó $int x sin(x) dx = -x cos(x) – int -cos(x) dx = -x cos(x) + sin(x) + C$.
4.2. Nguyên Hàm Hàm Số Lượng Giác
Một số dạng thường gặp:
-
Dạng 1: $I = int frac{dx}{sin(x+a) sin(x+b)}$
Phương pháp: Sử dụng $sin((x+a)-(x+b)) = sin(a-b)$
Ví dụ: $I = int frac{dx}{sin(x) sin(x + frac{pi}{6})}$
- Dạng 2: $I = int tan(x+a) tan(x+b) dx$
Ví dụ: $K = int tan(x + frac{pi}{3}) cot(x + frac{pi}{6}) dx$
- Dạng 3: $I = int frac{dx}{a sin(x) + b cos(x)}$
Ví dụ: $I = int frac{2 dx}{sqrt{3} sin(x) + cos(x)}$
- Dạng 4: $I = int frac{dx}{a sin(x) + b cos(x) + c}$
Ví dụ: $I = int frac{dx}{3 cos(x) + 5 sin(x) + 3}$
4.3. Nguyên Hàm Hàm Số Mũ
Ví dụ: $y = 5 cdot 7^x + x^2$
Giải:
4.4. Nguyên Hàm Đặt Ẩn Phụ (Đổi Biến Số)
- Dạng 1: Đặt $x = varphi(t)$, suy ra $dx = varphi'(t) dt$.
- Dạng 2: Đặt $t = psi(x)$, suy ra $dt = psi'(x) dx$.
Ví dụ 1: Tìm $int frac{dx}{sqrt{(1-x^2)^3}}$
Ví dụ 2: Tìm $int x^3 (2-3x^2)^8 dx$
Bài viết này đã cung cấp đầy đủ kiến thức về nguyên hàm, từ định nghĩa, tính chất đến các phương pháp tính toán và bài tập minh họa. Hy vọng rằng, bạn có thể áp dụng kiến thức này để giải quyết các bài tập một cách hiệu quả.
