Nguyên Hàm Của Ln(x): Công Thức, Cách Tính Và Bài Tập Chi Tiết

Nguyên Hàm Của Ln(x) là một dạng toán tích phân thường gặp trong chương trình giải tích. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về nguyên hàm của ln(x), bao gồm công thức, phương pháp tính và các ví dụ minh họa, giúp bạn nắm vững và áp dụng thành thạo.

1. Định Nghĩa Nguyên Hàm Của Ln(x)

Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K.

Nguyên hàm của ln(x) được tính bằng phương pháp tích phân từng phần như sau:

Đặt:

• u = ln(x)
• dv = dx

Suy ra:

• du = (1/x) dx
• v = x

Áp dụng công thức tích phân từng phần: ∫u dv = uv – ∫v du, ta có:

∫ln(x) dx = xln(x) – ∫x (1/x) dx = xln(x) – ∫dx = xln(x) – x + C

Vậy, nguyên hàm của ln(x) là:

∫ln(x) dx = xln(x) – x + C

Trong đó, C là hằng số tích phân.

2. Bảng Công Thức Nguyên Hàm Liên Quan Đến Ln(x)

Ngoài công thức nguyên hàm của ln(x) cơ bản, còn có một số công thức nguyên hàm khác liên quan đến ln(x) mà bạn nên biết:

Bảng tổng hợp các công thức nguyên hàm thường gặp liên quan đến hàm logarit tự nhiên ln(x) và các hàm số cơ bản khác.

3. Các Dạng Toán Nguyên Hàm Của Ln(x) Thường Gặp

3.1. Nguyên Hàm Của Ln(x+1)

Để tính nguyên hàm của ln(x+1), ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Tính ∫ln(x+1) dx

Đặt:

• u = ln(x+1)
• dv = dx

Suy ra:

• du = (1/(x+1)) dx
• v = x

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ln(x+1) dx = xln(x+1) – ∫x/(x+1) dx

Để tính ∫x/(x+1) dx, ta viết lại x = (x+1) – 1, khi đó:

∫x/(x+1) dx = ∫((x+1) – 1)/(x+1) dx = ∫(1 – 1/(x+1)) dx = x – ln|x+1| + C

Vậy:

∫ln(x+1) dx = xln(x+1) – (x – ln|x+1|) + C = (x+1)ln(x+1) – x + C

Ví dụ 2: Tính tích phân xác định ∫₁² ln(x+1) dx

Sử dụng kết quả ở ví dụ 1:

∫₁² ln(x+1) dx = [(x+1)ln(x+1) – x]₁² = (3ln3 – 2) – (2ln2 – 1) = 3ln3 – 2ln2 – 1

3.2. Nguyên Hàm Của (1+ln(x))/x

Dạng này thường xuất hiện trong các bài toán tích phân hàm ẩn hoặc đòi hỏi kỹ năng biến đổi.

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của ∫(1+ln(x))/x dx

Đặt t = 1 + ln(x), suy ra dt = (1/x) dx

Vậy:

∫(1+ln(x))/x dx = ∫t dt = (t²)/2 + C = (1 + ln(x))²/2 + C

3.3. Nguyên Hàm Của Ln(ax+b)

Để tính nguyên hàm của ln(ax+b), ta cũng sử dụng phương pháp tích phân từng phần tương tự như ln(x).

Ví dụ 1: Tính ∫ln(2x+3) dx

Đặt:

• u = ln(2x+3)
• dv = dx

Suy ra:

• du = (2/(2x+3)) dx
• v = x

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ln(2x+3) dx = xln(2x+3) – ∫2x/(2x+3) dx

Để tính ∫2x/(2x+3) dx, ta viết lại 2x = (2x+3) – 3, khi đó:

∫2x/(2x+3) dx = ∫((2x+3) – 3)/(2x+3) dx = ∫(1 – 3/(2x+3)) dx = x – (3/2)ln|2x+3| + C

Vậy:

∫ln(2x+3) dx = xln(2x+3) – (x – (3/2)ln|2x+3|) + C = xln(2x+3) – x + (3/2)ln|2x+3| + C

3.4. Nguyên Hàm Của Ln(x²+1)

Để tính nguyên hàm của ln(x²+1), ta cần kết hợp tích phân từng phần và một số kỹ thuật biến đổi khác.

Ví dụ 1: Tính ∫ln(x²+1) dx

Đặt:

• u = ln(x²+1)
• dv = dx

Suy ra:

• du = (2x/(x²+1)) dx
• v = x

Áp dụng công thức tích phân từng phần:

∫ln(x²+1) dx = xln(x²+1) – ∫2x²/(x²+1) dx

Để tính ∫2x²/(x²+1) dx, ta viết lại 2x² = 2(x²+1) – 2, khi đó:

∫2x²/(x²+1) dx = ∫(2(x²+1) – 2)/(x²+1) dx = ∫(2 – 2/(x²+1)) dx = 2x – 2arctan(x) + C

Vậy:

∫ln(x²+1) dx = xln(x²+1) – (2x – 2arctan(x)) + C = xln(x²+1) – 2x + 2arctan(x) + C

Hình ảnh minh họa quá trình giải bài toán tìm nguyên hàm của hàm số logarit tự nhiên có dạng ln(x^2 + 1).

3.5. Nguyên Hàm Của Ln(ln(x))/x

Đây là dạng toán phức tạp, đòi hỏi nắm vững các kỹ năng đặt ẩn phụ và tích phân từng phần.

Ví dụ 1: Tính ∫(ln(ln(x)))/x dx

Đặt t = ln(x), suy ra dt = (1/x) dx

Vậy:

∫(ln(ln(x)))/x dx = ∫ln(ln(x)) (1/x) dx = ∫ln(t) dt

Ta đã biết ∫ln(t) dt = tln(t) – t + C

Thay t = ln(x) vào, ta được:

∫(ln(ln(x)))/x dx = ln(x)ln(ln(x)) – ln(x) + C

4. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:

1. Tính ∫xln(x) dx
2. Tính ∫ln²(x) dx
3. Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = ln(x)/(x+1)
4. Tính tích phân xác định ∫₁^e ln(x)/x dx

5. Kết Luận

Nguyên hàm của ln(x) là một chủ đề quan trọng trong chương trình giải tích. Việc nắm vững công thức, phương pháp tính và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán liên quan một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức cần thiết để chinh phục dạng toán này.