Phương trình bậc hai là một trong những kiến thức toán học quan trọng ở lớp 9. Hiểu rõ về công thức Nghiệm Của Phương Trình bậc hai giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán liên quan một cách hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức này.
1. Lý Thuyết Về Nghiệm Của Phương Trình Bậc Hai
Xét phương trình bậc hai tổng quát: ax² + bx + c = 0, với a ≠ 0.
Để tìm nghiệm của phương trình, ta sử dụng biệt thức Δ (Delta):
- Δ = b² – 4ac
Dựa vào giá trị của Δ, ta có các trường hợp sau:
-
Δ > 0: Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Công thức nghiệm là:
-
Δ = 0: Phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm bằng nhau). Công thức nghiệm kép là:
-
Δ < 0: Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).
Lưu ý quan trọng:
- Nếu a và c trái dấu (tức ac < 0), thì Δ = b² – 4ac > 0. Suy ra phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Điều này giúp bạn nhanh chóng xác định số nghiệm mà không cần tính toán Δ cụ thể.
2. Ví Dụ Minh Họa Cách Tìm Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức nghiệm, hãy xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình x² – 5x + 4 = 0
-
Tính Δ: Δ = (-5)² – 4 1 4 = 25 – 16 = 9 > 0
-
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
Vậy phương trình có hai nghiệm là x₁ = 4 và x₂ = 1.
Ví dụ 2: Giải phương trình 5x² – x + 2 = 0
- Tính Δ: Δ = (-1)² – 4 5 2 = 1 – 40 = -39 < 0
- Vì Δ < 0, phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 3: Giải phương trình x² – 4x + 4 = 0
- Tính Δ: Δ = (-4)² – 4 1 4 = 16 – 16 = 0
- Vì Δ = 0, phương trình có nghiệm kép: x₁ = x₂ = -(-4) / (2 1) = 2*
Vậy phương trình có nghiệm kép là x = 2.
3. Bài Tập Tự Luyện Về Nghiệm Phương Trình Bậc Hai
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1: Giải các phương trình sau:
- a) x² + 14x + 49 = 0
- b) x² – 2x – 5 = 0
Bài 2: Cho phương trình -x² + 2x + 2017²⁰¹⁷ = 0. Không giải phương trình, hãy cho biết phương trình có bao nhiêu nghiệm? Giải thích.
Bài 3: Cho phương trình – 2x² + 2 = – 3(x + 1). Biết rằng phương trình có hai nghiệm x₁, x₂. Tính x₁ + x₂.
Bài 4: Xác định các hệ số a, b, c và tính biệt thức Δ rồi tìm nghiệm của phương trình:
- a) x² – x – 11 = 0
- b) -5x² – 4x + 1 = 0
- c) 3x² – 23x + 1 = 0
- d) 3x² – (1-√3)x – 1 = 0
Bài 5: Với giá trị nào của m thì phương trình 4x² + m²x + 4m = 0 có nghiệm x = 1?
Bài 6: Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình:
- a) 7x² – 9x + 2 = 0
- b) 23x² – 9x – 32 = 0
- c) 1975x² + 4x – 1979 = 0
- d) 31,1x² – 50,9x + 19,8 = 0
Bài 7: Cho phương trình mx² – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:
- a) Có hai nghiệm phân biệt;
- b) Có nghiệm kép;
- c) Vô nghiệm.
Bài 8: Tìm giá trị của m để phương trình mx² – 3(m + 1)x + m² – 13m – 4 = 0 có một nghiệm là – 2. Hãy tìm nghiệm còn lại.
Bài 9: Giải và biện luận các phương trình sau:
- a) (m – 3)x² – 2mx + m – 6 = 0
- b) mx² + (2m – 1)x + m + 2 = 0
Bài 10: Cho hai phương trình x² + x – m = 0 và x² – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:
- a) Hai phương trình có nghiệm chung;
- b) Hai phương trình tương đương.
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp bạn tự tin giải quyết các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Chúc bạn thành công!
