Trong toán học, việc xét tính đồng biến và Nghịch Biến của hàm số là một kỹ năng quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về khái niệm nghịch biến, cách xác định và các ví dụ minh họa, kèm theo bài tập tự luyện để bạn nắm vững kiến thức.
1. Khái niệm hàm số nghịch biến
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b):
- Hàm số được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu với mọi x1, x2 thuộc (a; b) mà x1 < x2 thì f(x1) > f(x2).
- Điều này có nghĩa là, khi giá trị của x tăng, giá trị của hàm số f(x) giảm.
Đồ thị của hàm số nghịch biến trên một khoảng có dạng đi xuống từ trái sang phải.
2. Phương pháp xét tính nghịch biến của hàm số
Để xét tính nghịch biến của hàm số y = f(x) trên khoảng (a; b), ta thực hiện các bước sau:
- Chọn x1, x2 bất kỳ thuộc khoảng (a; b) sao cho x1 < x2.
- Tính f(x1) và f(x2).
- Xét hiệu f(x1) – f(x2):
- Nếu f(x1) – f(x2) > 0 (tức f(x1) > f(x2)), hàm số nghịch biến trên (a; b).
- Nếu f(x1) – f(x2) < 0 (tức f(x1) < f(x2)), hàm số đồng biến trên (a; b).
- Nếu f(x1) – f(x2) = 0 (tức f(x1) = f(x2)), hàm số không đổi trên (a; b).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét tính nghịch biến của hàm số y = f(x) = x2 trên khoảng (–∞; 0).
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số y = x2 trên khoảng (–∞; 0).
Lấy x1, x2 tùy ý sao cho x1 < x2 < 0, ta có: f(x1) – f(x2) = x12 – x22 = (x1 – x2)(x1 + x2)
Do x1 < x2 nên x1 – x2 < 0. Vì x1, x2 thuộc (–∞; 0) nên x1 + x2 < 0.
Từ đó suy ra: f(x1) – f(x2) > 0 hay f(x1) > f(x2)
Do đó, khi x1 < x2 thì f(x1) > f(x2)
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (–∞; 0).
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:
Xét tính nghịch biến của hàm số trên các khoảng (–3; –2), (–2; 5), (5; 7).
Hướng dẫn giải:
Xét hàm số có đồ thị như hình trên, từ đồ thị ta thấy hàm số xác định trên [– 3; 7]. Ta có:
- Trên khoảng (–3; –2), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (–3; –2).
- Trên khoảng (–2; 5), đồ thị hàm số có dạng đi xuống từ trái sang phải. Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 5).
- Trên khoảng (5; 7), đồ thị hàm số có dạng đi lên từ trái sang phải. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng (5; 7).
4. Bài tập tự luyện
Bài 1. Cho hàm số f(x) = 4 – 3x. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên (–∞; 4/3);
B. Hàm số nghịch biến trên (4/3; +∞);
C. Hàm số đồng biến trên ℝ;
D. Hàm số đồng biến trên (3/4; +∞).
Bài 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số f(x) = 4x + 5 trên khoảng (–∞; 2) và trên khoảng (2; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hàm số nghịch biến trên (–∞; 2), đồng biến trên (2; +∞);
B. Hàm số đồng biến trên (–∞; 2), nghịch biến trên (2; +∞);
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞);
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).
Bài 3. Xét sự biến thiên của hàm số f(x) = 3x trên khoảng (0; +∞). Khẳng định nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞);
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞);
C. Hàm số vừa đồng biến, vừa nghịch biến trên khoảng (0; +∞);
D. Hàm số không đồng biến, cũng không nghịch biến trên khoảng (0; +∞).
Bài 4. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = –0,5x. Khẳng định nào sau đây là sai:
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 10);
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 5);
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–5; –2022);
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (100; 10000).
Bài 5. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3);
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 1);
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).
Bài 6. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:
Khẳng định nào dưới đây là sai ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 3);
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–1; 0);
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).
Bài 7. Cho hàm số có đồ thị như hình dưới:
Khẳng định nào dưới đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 1);
B. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; 4);
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (–2; 0);
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).
Bài 8. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên khoảng (–1; 0) ?
A. y = x;
B. y=1/x;
C. y = |x|;
D. y = x2.
Bài 9. Cho hàm số y = 2x2. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số trên đồng biến trên khoảng (0; +∞);
B. Hàm số trên nghịch biến trên khoảng (0; +∞);
C. Hàm số trên đồng biến trên ℝ;
D. Hàm số trên nghịch biến trên ℝ.
Bài 10. Cho hàm số f(x)=4x+1. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. f(x) đồng biến trên khoảng (–∞; –1) và nghịch biến trên khoảng (–1; +∞);
B. f(x) đồng biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞);
C. f(x) nghịch biến trên khoảng (–∞; –1) và đồng biến trên khoảng (–1; +∞);
D. f(x) nghịch biến trên các khoảng (–∞; –1) và (–1; +∞).
Hy vọng qua bài viết này, bạn đã nắm vững khái niệm và cách xét tính nghịch biến của hàm số. Chúc bạn học tốt!