Bài toán tổ hợp xác suất thường gặp liên quan đến việc chọn một nhóm người từ một tập hợp lớn hơn. Một ví dụ điển hình là bài toán Một Tổ Có 6 Học Sinh Nam Và 9 Học Sinh Nữ. Chúng ta sẽ đi sâu vào một dạng bài toán cụ thể và phương pháp giải quyết nó.
Bài toán:
Một tổ học sinh có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh đi lao động, trong đó có đúng 2 học sinh nam?
Phân tích bài toán:
Đây là một bài toán tổ hợp cơ bản, yêu cầu chúng ta phải kết hợp các kiến thức về tổ hợp và quy tắc nhân để giải quyết. Ta cần thực hiện các bước sau:
- Chọn 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam: Số cách chọn được tính bằng tổ hợp chập 2 của 6, ký hiệu là C(6, 2).
- Chọn 3 học sinh nữ từ 9 học sinh nữ: Số cách chọn được tính bằng tổ hợp chập 3 của 9, ký hiệu là C(9, 3).
- Áp dụng quy tắc nhân: Vì việc chọn học sinh nam và học sinh nữ là hai hành động độc lập, ta nhân số cách chọn ở bước 1 và bước 2 để được kết quả cuối cùng.
Lời giải chi tiết:
-
Số cách chọn 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam là:
C(6, 2) = 6! / (2! (6-2)!) = 6! / (2! 4!) = (6 5) / (2 1) = 15
-
Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 9 học sinh nữ là:
C(9, 3) = 9! / (3! (9-3)!) = 9! / (3! 6!) = (9 8 7) / (3 2 1) = 84
Hình ảnh minh họa số cách chọn 2 học sinh nam từ 6 học sinh nam, kết quả là 15.
Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn 5 học sinh đi lao động, trong đó có đúng 2 học sinh nam là:
15 * 84 = 1260
Kết luận:
Có tổng cộng 1260 cách chọn 5 học sinh đi lao động từ một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ, sao cho trong đó có đúng 2 học sinh nam.
Tổng quát hóa:
Bài toán trên có thể được tổng quát hóa cho các trường hợp khác nhau với số lượng học sinh nam, học sinh nữ và số lượng học sinh cần chọn khác nhau. Công thức tổng quát như sau:
Nếu có m học sinh nam và n học sinh nữ, và cần chọn k học sinh, trong đó có x học sinh nam, thì số cách chọn là:
C(m, x) * C(n, k-x)
Công thức tổng quát cho phép tính số cách chọn học sinh nam và nữ khi biết tổng số học sinh nam, nữ và số lượng cần chọn.
Ứng dụng:
Bài toán này không chỉ là một bài tập toán học thuần túy mà còn có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, ví dụ như:
- Thống kê: Tính xác suất xảy ra một sự kiện khi biết số lượng các trường hợp có thể xảy ra.
- Quản lý nhân sự: Lựa chọn một nhóm người từ một danh sách ứng viên, đảm bảo các tiêu chí nhất định.
- Nghiên cứu thị trường: Chọn mẫu khảo sát từ một tổng thể lớn, đảm bảo tính đại diện của mẫu.
Bài toán về một tổ có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ là một ví dụ điển hình cho thấy sự hữu ích của toán học tổ hợp trong việc giải quyết các vấn đề thực tế. Nắm vững các kiến thức cơ bản về tổ hợp và quy tắc nhân sẽ giúp chúng ta tự tin hơn trong việc đối mặt với những thách thức tương tự.