Trong một lớp học có 30 học sinh, việc lựa chọn ra một nhóm đại diện là một bài toán thường gặp. Bài toán này càng trở nên thú vị hơn khi có thêm các điều kiện ràng buộc. Chúng ta hãy cùng phân tích một ví dụ điển hình:
Bài toán: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó có 3 cán sự lớp. Hỏi có bao nhiêu cách cử 4 bạn học sinh đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 cán sự lớp?
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tổ hợp và phân tích các trường hợp có thể xảy ra.
Lời giải:
Bài toán yêu cầu trong 4 học sinh được chọn phải có ít nhất 1 cán sự lớp. Chúng ta có thể chia bài toán thành các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: Có 1 cán sự lớp và 3 học sinh thường.
- Trường hợp 2: Có 2 cán sự lớp và 2 học sinh thường.
- Trường hợp 3: Có 3 cán sự lớp và 1 học sinh thường.
Bây giờ, chúng ta sẽ tính số cách chọn cho mỗi trường hợp:
- Trường hợp 1:
- Số cách chọn 1 cán sự lớp từ 3 cán sự lớp là: C(3, 1) = 3
- Số cách chọn 3 học sinh thường từ 27 học sinh thường là: C(27, 3) = 2925
- Vậy, số cách chọn ở trường hợp 1 là: 3 * 2925 = 8775
Alt: Học sinh giơ tay phát biểu trong lớp, thể hiện sự tích cực tham gia xây dựng bài
-
Trường hợp 2:
- Số cách chọn 2 cán sự lớp từ 3 cán sự lớp là: C(3, 2) = 3
- Số cách chọn 2 học sinh thường từ 27 học sinh thường là: C(27, 2) = 351
- Vậy, số cách chọn ở trường hợp 2 là: 3 * 351 = 1053
-
Trường hợp 3:
- Số cách chọn 3 cán sự lớp từ 3 cán sự lớp là: C(3, 3) = 1
- Số cách chọn 1 học sinh thường từ 27 học sinh thường là: C(27, 1) = 27
- Vậy, số cách chọn ở trường hợp 3 là: 1 * 27 = 27
Cuối cùng, chúng ta cộng số cách chọn của cả ba trường hợp lại để được kết quả cuối cùng:
Tổng số cách chọn là: 8775 + 1053 + 27 = 9855
Vậy, có tất cả 9855 cách để cử 4 bạn học sinh đi dự đại hội đoàn trường sao cho trong 4 học sinh đó có ít nhất 1 cán sự lớp.
Alt: Học sinh trung học phổ thông đang thảo luận nhóm sôi nổi, làm việc teamwork hiệu quả
Kết luận:
Bài toán này là một ví dụ điển hình về ứng dụng của tổ hợp trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Việc phân tích các trường hợp và áp dụng công thức tổ hợp một cách chính xác là chìa khóa để giải quyết bài toán này. Hiểu rõ về tổ hợp và xác suất giúp học sinh rèn luyện tư duy logic và khả năng giải quyết vấn đề, những kỹ năng quan trọng trong học tập và cuộc sống.