Một bài toán xác suất điển hình thường gặp trong chương trình học phổ thông và các kỳ thi quan trọng là bài toán liên quan đến việc phân bố hành khách lên các toa tàu. Trong đó, bài toán “Một đoàn Tàu Có 3 Toa Chở Khách” là một ví dụ điển hình, vừa đủ phức tạp để kiểm tra kiến thức, vừa đủ đơn giản để giải quyết bằng các phương pháp cơ bản. Chúng ta hãy cùng phân tích và tìm hiểu cách giải quyết bài toán này một cách chi tiết.
Đề bài:
Một đoàn tàu gồm ba toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với nhau trong việc chọn toa. Chọn ngẫu nhiên một toa cho mỗi hành khách. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách bước lên tàu.
Phân tích bài toán:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xác định không gian mẫu và số trường hợp thuận lợi.
- Không gian mẫu: Là tất cả các khả năng có thể xảy ra khi 5 hành khách lên 3 toa tàu.
- Trường hợp thuận lợi: Là các trường hợp mà mỗi toa đều có ít nhất một hành khách.
Lời giải chi tiết:
Số phần tử của không gian mẫu được tính như sau: Mỗi hành khách có 3 lựa chọn toa tàu, vì có 5 hành khách nên tổng số khả năng là 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 35 = 243.
Gọi A là biến cố “mỗi toa có ít nhất một hành khách lên tàu”. Để tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố A, ta xét các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Một toa có 3 khách, hai toa còn lại mỗi toa có 1 khách.
- Chọn 1 toa để có 3 khách: có 3 cách.
- Chọn 3 khách từ 5 khách để lên toa đó: có C(5,3) = 10 cách.
- Chọn 1 trong 2 toa còn lại cho khách thứ 4: có 2 cách.
- Khách thứ 5 bắt buộc phải lên toa còn lại.
Vậy trường hợp này có: 3 * 10 * 2 = 60 cách.
Trường hợp 2: Một toa có 1 khách, hai toa còn lại mỗi toa có 2 khách.
- Chọn 1 toa để có 1 khách: có 3 cách.
- Chọn 1 khách từ 5 khách để lên toa đó: có C(5,1) = 5 cách.
- Chọn 2 khách từ 4 khách còn lại cho toa thứ hai: có C(4,2) = 6 cách.
- 2 khách còn lại bắt buộc phải lên toa còn lại.
Vậy trường hợp này có: 3 * 5 * 6 = 90 cách.
Tổng số kết quả thuận lợi của biến cố A là: n(A) = 60 + 90 = 150 cách.
Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:
P(A) = n(A) / n(không gian mẫu) = 150 / 243 = 50/81.
Kết luận:
Vậy xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách bước lên tàu là 50/81. Bài toán “một đoàn tàu có 3 toa chở khách” là một ví dụ điển hình về ứng dụng của tổ hợp và xác suất trong thực tế. Việc hiểu rõ cách phân tích và giải quyết các bài toán tương tự sẽ giúp ích rất nhiều trong quá trình học tập và ôn luyện.
