Trong toán học và lập trình, “modulo” là một khái niệm quan trọng. Bài viết này sẽ giải thích “Modulo Là Gì” một cách chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa, tính chất và ứng dụng thực tế.
Modulo Là Gì?
Phép Lấy Phần Dư
Cho hai số nguyên (a) và (b) ((b neq 0)), phép toán modulo, ký hiệu là (a bmod b), trả về số dư của phép chia (a) cho (b).
Ví dụ:
- (30 bmod 7 = 2) (30 chia 7 dư 2)
- (10 bmod 2 = 0) (10 chia 2 dư 0)
- (-12 bmod 5 = 3) (-12 chia 5 dư 3)
Lưu ý rằng, kết quả của (-12 bmod 5) có thể là (-2) hoặc (3). Trong toán học, số dương thường được ưu tiên, nhưng trong lập trình, kết quả có thể âm tùy thuộc vào ngôn ngữ.
Đồng Dư
Cho số nguyên (n > 1) và hai số nguyên (a) và (b). Ta nói (a) đồng dư với (b) theo modulo (n), ký hiệu (a equiv b pmod n), nếu (a) và (b) có cùng số dư khi chia cho (n).
Ví dụ:
- (12 equiv 7 equiv 2 pmod 5) (12, 7 và 2 đều chia 5 dư 2)
- (-3 equiv 2 pmod 5) (-3 và 2 đều chia 5 dư 2)
Như vậy, (a equiv b pmod n iff a bmod n = b bmod n).
Kí hiệu (bar{a}_n) là tập hợp tất cả các số đồng dư với (a) trong modulo (n):
[bar{a}_n = {x mid x equiv a pmod n }]
Vành (mathbb{Z}/n) là tập hợp tất cả các (bar{a}_n):
[mathbb{Z}/n = {bar{a}_n mid a in mathbb{Z}}]
Ví dụ:
(bar{8}_5 = bar{3}_5 = {dots,-7, -2, 3, 8, 13,dots}\ mathbb{Z}/5 = {bar{0}_5, bar{1}_5, bar{2}_5, bar{3}_5, bar{4}_5})
Phép Toán và Tính Chất Quan Trọng Của Modulo
Phần này sẽ đề cập đến phép cộng và phép nhân trong modulo.
[bar{a}_n + bar{b}_n = overline{a + b}_n
bar{a}_n – bar{b}_n = overline{a – b}_n
bar{a}_n bar{b}_n = overline{a b}_n]
Ví dụ:
(bar{6}_{10} + bar{8}_{10} = overline{6 + 8}_{10} = overline{14}_{10} = bar{4}_{10}). Điều này có nghĩa là: “số chia 10 dư 6” cộng với “số chia 10 dư 8” sẽ cho kết quả là “số chia 10 dư 4”.
Ta cũng có thể sử dụng ký hiệu đồng dư: (6 + 8 equiv 14 equiv 4 pmod{10})
Dấu (equiv) có các tính chất tương tự như dấu (=):
- (a equiv a pmod n) (Tính phản xạ)
- (a equiv b pmod n iff b equiv a pmod n) (Tính đối xứng)
- Nếu (a equiv b pmod n) và (b equiv c pmod n) thì (a equiv c pmod n) (Tính bắc cầu)
Cho (a, b, k in mathbb{Z}), nếu (a equiv b pmod n) thì:
- (-a equiv -b pmod n)
- (a + k equiv b + k pmod n)
- (ka equiv kb pmod n)
- (a^k equiv b^k pmod n)
- Tổng quát, (p(a) equiv p(b) pmod n), với (p) là đa thức hệ số nguyên.
Ngược lại:
- (a + k equiv b + k pmod n iff a equiv b pmod n)
- Nếu (ka equiv kb pmod n) và (k) nguyên tố cùng nhau với (n) thì (a equiv b pmod n)
Cho (a_1 equiv b_1 pmod n) và (a_2 equiv b_2 pmod n), ta có:
- (a_1 + a_2 equiv b_1 + b_2 pmod n)
- (a_1 – a_2 equiv b_1 – b_2 pmod n)
- (a_1 a_2 equiv b_1 b_2 pmod n)
Ứng Dụng Thực Tế Của Modulo
Modulo có rất nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau:
- Lập trình: Kiểm tra tính chẵn lẻ, tạo số ngẫu nhiên, băm dữ liệu, mật mã học.
- Toán học: Chứng minh các định lý số học, giải phương trình đồng dư.
- Đời sống: Tính chu kỳ, lập lịch.
Ví dụ: Chứng minh tính chia hết cho 3
Chứng minh rằng “Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3”.
Xét số (A) có (n) chữ số trong hệ thập phân: (a_0, a_1, a_2,dots,a_{n-1}), ta có:
[A = a_0 + 10 a_1 + 10^2 a2 + dots + 10^{n-1} a{n-1}]
Giả sử (A) chia hết cho 3, tức là: (A equiv 0 pmod 3)
[a_0 + 10 a_1 + 10^2 a2 + dots + 10^{n-1} a{n-1} equiv 0 pmod 3]
Vì (10 equiv 1 pmod 3), ta có thể thay 10 bằng 1:
[a_0 + 1 a_1 + 1^2 a2 + dots + 1^{n-1} a{n-1} equiv 0 pmod 3
iff a_0 + a_1 + a2 + dots + a{n-1} equiv 0 pmod 3]
Vậy, nếu một số chia hết cho 3 thì tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 3, và ngược lại.
Kết luận:
Modulo là một khái niệm toán học đơn giản nhưng mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng quan trọng trong cả lý thuyết và thực tế. Việc hiểu rõ “modulo là gì” và các tính chất liên quan sẽ giúp ích rất nhiều trong học tập và công việc.