1. Tổng Quan Về Mệnh Đề
1.1. Định Nghĩa Mệnh Đề
Mệnh đề là một câu khẳng định có thể xác định được tính đúng hoặc tính sai. Nói cách khác, một mệnh đề phải hoặc đúng, hoặc sai, chứ không thể vừa đúng vừa sai hoặc không xác định được.
Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai rõ ràng, như hình minh họa.
Ví dụ về mệnh đề:
- “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là một mệnh đề đúng.
- “2 + 2 = 5” là một mệnh đề sai.
- “Hôm nay trời đẹp không?” không phải là một mệnh đề vì nó là một câu hỏi, không phải một câu khẳng định.
1.2. Các Dạng Mệnh Đề Thường Gặp và Cách Xác Định Tính Đúng Sai
1.2.1. Mệnh đề phủ định
Mệnh đề phủ định của một mệnh đề A, ký hiệu là ¬A (hoặc A ngang), là mệnh đề có tính đúng sai ngược lại với A. Nếu A đúng thì ¬A sai, và nếu A sai thì ¬A đúng.
Mệnh đề phủ định đảo ngược giá trị chân lý của mệnh đề gốc.
Ví dụ:
- A: “Số 7 là số chẵn” (sai)
- ¬A: “Số 7 không là số chẵn” (đúng)
1.2.2. Mệnh đề kéo theo
Mệnh đề kéo theo có dạng “Nếu A thì B”, ký hiệu là A → B. Mệnh đề này chỉ sai khi A đúng và B sai. Trong các trường hợp còn lại, mệnh đề kéo theo là đúng.
Bảng chân trị minh họa tính đúng sai của mệnh đề “Nếu A thì B” (A → B).
Ví dụ:
- A: “Hôm nay là thứ Bảy”
- B: “Ngày mai là Chủ Nhật”
- A → B: “Nếu hôm nay là thứ Bảy thì ngày mai là Chủ Nhật” (đúng)
1.2.3. Mệnh đề đảo
Mệnh đề đảo của mệnh đề A → B là mệnh đề B → A. Tính đúng sai của mệnh đề đảo không phụ thuộc vào tính đúng sai của mệnh đề gốc.
Mệnh đề đảo có dạng “Nếu B thì A”, ngược lại với mệnh đề gốc “Nếu A thì B”.
Ví dụ:
- A → B: “Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó là hình chữ nhật” (đúng)
- B → A: “Nếu một tứ giác là hình chữ nhật thì nó là hình vuông” (sai, vì hình chữ nhật có thể không phải hình vuông)
1.2.4. Mệnh đề tương đương
Mệnh đề tương đương, ký hiệu là A ↔ B, đúng khi và chỉ khi A và B cùng đúng hoặc cùng sai.
Mệnh đề tương đương (A ↔ B) đúng khi A và B có cùng giá trị chân lý.
Ví dụ:
- A: “Tam giác ABC là tam giác đều”
- B: “Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhau”
- A ↔ B: “Tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi nó có ba cạnh bằng nhau” (đúng)
1.2.5. Mệnh đề chứa ký hiệu ∀ (với mọi) và ∃ (tồn tại)
- ∀x ∈ X: P(x): “Với mọi x thuộc tập X, mệnh đề P(x) đúng”. Mệnh đề này chỉ đúng khi P(x) đúng với tất cả các giá trị x trong X.
- ∃x ∈ X: P(x): “Tồn tại một x thuộc tập X sao cho mệnh đề P(x) đúng”. Mệnh đề này đúng khi có ít nhất một giá trị x trong X làm cho P(x) đúng.
Mệnh đề lượng từ và cách diễn giải các ký hiệu “∀” và “∃”.
Ví dụ:
- ∀x ∈ R: x² ≥ 0 (đúng, vì bình phương của mọi số thực đều không âm)
- ∃x ∈ R: x² = -1 (sai, vì không có số thực nào mà bình phương bằng -1)
2. Phương Pháp Xét Tính Đúng Sai Của Mệnh Đề và Bài Tập
2.1. Phương Pháp Giải
Để xét tính đúng sai của một mệnh đề, ta cần:
- Xác định rõ mệnh đề: Đọc kỹ và hiểu rõ ý nghĩa của mệnh đề.
- Tìm kiếm bằng chứng hoặc phản ví dụ:
- Nếu là mệnh đề toán học, sử dụng các định lý, аксиом, hoặc quy tắc suy luận.
- Nếu là mệnh đề thực tế, tìm kiếm thông tin, dữ liệu, hoặc quan sát thực tế.
- Kết luận: Dựa trên bằng chứng hoặc phản ví dụ, kết luận mệnh đề là đúng hay sai.
2.2. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Xác định tính đúng sai của mệnh đề: “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ.”
Giải: Mệnh đề sai, vì số 2 là số nguyên tố nhưng là số chẵn.
Câu 2: Cho mệnh đề P(x): “x² – 4 = 0”. Tìm tất cả các giá trị của x để P(x) đúng.
Giải: x² – 4 = 0 => x² = 4 => x = 2 hoặc x = -2. Vậy P(x) đúng khi x = 2 hoặc x = -2.
Câu 3: Xét tính đúng sai của mệnh đề: “Nếu tam giác ABC có hai góc bằng nhau thì tam giác ABC cân.”
Giải: Mệnh đề đúng, đây là một định lý cơ bản trong hình học.
Câu 4: Xác định tính đúng sai của mệnh đề: “Tồn tại một số tự nhiên n sao cho n + 1 = n.”
Giải: Mệnh đề sai, không có số tự nhiên nào thỏa mãn điều kiện này.
Câu 5: Cho mệnh đề: “Nếu 2 > 3 thì 4 > 5”. Mệnh đề này đúng hay sai?
Giải: Mệnh đề đúng. Vì mệnh đề “2 > 3” là sai, nên theo quy tắc của mệnh đề kéo theo, mệnh đề “Nếu 2 > 3 thì 4 > 5” là đúng. (Một mệnh đề kéo theo chỉ sai khi điều kiện đúng và kết luận sai).
