1. Định Nghĩa Mặt Phẳng Trung Trực
Trong không gian Oxyz, cho một đoạn thẳng AB và điểm I là trung điểm của AB. Mặt phẳng (P) đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng AB được gọi là Mặt Phẳng Trung Trực Của đoạn Thẳng AB. Đây là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt khi giải các bài toán liên quan đến khoảng cách và vị trí tương đối.
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB, đi qua trung điểm I và vuông góc với AB
2. Tính Chất Quan Trọng
Một trong những tính chất quan trọng nhất của mặt phẳng trung trực là: mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng đều cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó. Điều này có nghĩa là nếu M là một điểm bất kỳ nằm trên mặt phẳng trung trực của AB, thì MA = MB. Tính chất này thường được sử dụng để chứng minh các bài toán liên quan đến quỹ tích điểm.
3. Phương Pháp Viết Phương Trình Mặt Phẳng Trung Trực
Để viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: Tọa độ trung điểm I được tính bằng công thức: (I(frac{x_A + x_B}{2}, frac{y_A + y_B}{2}, frac{z_A + z_B}{2})).
- Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng AB: Vectơ chỉ phương (overrightarrow{AB}) được tính bằng công thức: (overrightarrow{AB} = (x_B – x_A, y_B – y_A, z_B – z_A)). Vectơ này cũng chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực (P).
- Viết phương trình mặt phẳng (P): Sử dụng công thức tổng quát của phương trình mặt phẳng đi qua điểm (I(x_0, y_0, z_0)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow{n} = (a, b, c)):
[a(x – x_0) + b(y – y_0) + c(z – z_0) = 0]
Ví dụ minh họa:
Cho hai điểm A(2; 1; 1) và B(2; -1; -1). Hãy viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
-
Bước 1: Tìm tọa độ trung điểm I:
(x_I = frac{2+2}{2} = 2)
(y_I = frac{1+(-1)}{2} = 0)
(z_I = frac{1+(-1)}{2} = 0)
Vậy I(2; 0; 0).
-
Bước 2: Tìm vectơ pháp tuyến:
(overrightarrow{AB} = (2-2; -1-1; -1-1) = (0; -2; -2)).
-
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng:
(0(x-2) – 2(y-0) – 2(z-0) = 0)
(Leftrightarrow -2y – 2z = 0)
(Leftrightarrow y + z = 0)
Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là (y + z = 0).
4. Bài Tập Vận Dụng
Để nắm vững kiến thức về mặt phẳng trung trực, hãy cùng luyện tập một số bài tập sau đây:
Bài 1: Cho A(1; 2; 3) và B(3; 6; 1). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
-
Trung điểm I của AB có tọa độ là (2; 4; 2).
-
Vectơ (overrightarrow{AB}) = (2; 4; -2) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
-
Phương trình mặt phẳng có dạng:
(2(x – 2) + 4(y – 4) – 2(z – 2) = 0)
(Leftrightarrow 2x – 4 + 4y – 16 – 2z + 4 = 0)
(Leftrightarrow 2x + 4y – 2z – 16 = 0)
(Leftrightarrow x + 2y – z – 8 = 0)
Bài 2: Cho A(-1; 2; 3) và B(1; 6; -1). Xác định phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
-
Trung điểm I của AB có tọa độ là (0; 4; 1).
-
Vectơ (overrightarrow{AB}) = (2; 4; -4) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
-
Phương trình mặt phẳng có dạng:
(2(x – 0) + 4(y – 4) – 4(z – 1) = 0)
(Leftrightarrow 2x + 4y – 16 – 4z + 4 = 0)
(Leftrightarrow 2x + 4y – 4z – 12 = 0)
(Leftrightarrow x + 2y – 2z – 6 = 0)
Bài 4: Cho A(2;3;7) và B(4;1;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Giải:
- Tìm trung điểm M của AB: (M(frac{2+4}{2}; frac{3+1}{2}; frac{7+3}{2}) = M(3; 2; 5)).
- Tìm vectơ pháp tuyến (overrightarrow{AB} = (2; -2; -4)).
- Viết phương trình mặt phẳng (P):
5. Ứng Dụng
Mặt phẳng trung trực được ứng dụng rộng rãi trong các bài toán hình học không gian, đặc biệt trong việc tìm quỹ tích các điểm thỏa mãn một điều kiện nào đó liên quan đến khoảng cách. Nắm vững khái niệm và phương pháp viết phương trình mặt phẳng trung trực sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học một cách hiệu quả.
Chúc các bạn học tốt!