Để lập phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và một điểm P bất kỳ không nằm trên trục Ox, ta cần xác định vector pháp tuyến của mặt phẳng đó. Dưới đây là phương pháp chi tiết và ví dụ minh họa.
(P) chứa Ox và điểm P(4; -1; 2).
Để giải bài toán này, ta thực hiện các bước sau:
-
Xác định vector chỉ phương: Vì (P) chứa trục Ox, nên vector chỉ phương của trục Ox, i = (1; 0; 0), là một vector chỉ phương của (P).
-
Tìm vector thứ hai nằm trên mặt phẳng: Điểm O(0; 0; 0) nằm trên trục Ox (do đó thuộc (P)). Vậy vector OP = (4; -1; 2) cũng là một vector chỉ phương của (P).
-
Tính vector pháp tuyến: Vector pháp tuyến n của (P) sẽ vuông góc với cả hai vector chỉ phương i và OP. Ta tính tích có hướng của chúng:
n = [i, OP] = (1; 0; 0) x (4; -1; 2) = (0; -2; -1)
Như vậy, vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) là (0; -2; -1).
-
Lập phương trình mặt phẳng: Sử dụng vector pháp tuyến n = (0; -2; -1) và điểm O(0; 0; 0) (hoặc điểm P(4; -1; 2)), ta có phương trình mặt phẳng (P):
0(x – 0) – 2(y – 0) – 1(z – 0) = 0
<=> -2y – z = 0
<=> 2y + z = 0
Vậy, phương trình mặt phẳng (P) là 2y + z = 0.
Tổng quát:
- Mặt Phẳng Chứa Trục Ox có dạng: By + Cz = 0.
- Để tìm B và C, thay tọa độ điểm P vào phương trình trên để giải.
Các dạng bài tập liên quan đến mặt phẳng chứa trục Ox:
-
Bài toán 1: Cho điểm A(x₀; y₀; z₀). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và đi qua điểm A.
- Giải: Mặt phẳng (P) có dạng By + Cz = 0. Thay tọa độ điểm A vào, ta có: By₀ + Cz₀ = 0. Chọn B hoặc C (khác 0) và giải phương trình để tìm giá trị còn lại.
-
Bài toán 2: Tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên mặt phẳng chứa trục Ox.
- Giải: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và đi qua điểm đó. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng (P). Giao điểm đó chính là hình chiếu vuông góc cần tìm.
-
Bài toán 3: Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng chứa trục Ox.
- Giải: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian Oxyz.
Lưu ý:
- Khi giải các bài toán liên quan đến mặt phẳng chứa trục Ox, cần nhớ rằng vector chỉ phương của trục Ox là i = (1; 0; 0) và mọi điểm trên trục Ox đều có tọa độ dạng (x; 0; 0).
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn có thể dễ dàng giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình mặt phẳng chứa trục Ox.
