Mặt Phẳng Chứa Đường Thẳng: Phương Pháp, Bài Tập và Ứng Dụng

Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa giúp học sinh nắm vững cách viết phương trình Mặt Phẳng Chứa đường Thẳng, một dạng toán quan trọng trong chương trình hình học không gian lớp 12.

Phương Pháp Xác Định Mặt Phẳng Chứa Đường Thẳng

Để viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định vector chỉ phương của đường thẳng d: Tìm vector chỉ phương u→ của đường thẳng d.

2. Chọn một điểm thuộc đường thẳng d: Lấy một điểm N bất kỳ nằm trên đường thẳng d.

3. Xác định một điểm khác không thuộc đường thẳng d: Điểm này có thể là một điểm M cho trước hoặc một điểm tùy ý khác không nằm trên d.

4. Tính vector MN: Tính vector MN→ nối điểm M và điểm N.

5. Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P): Vector pháp tuyến n→ của mặt phẳng (P) được tính bằng tích có hướng của hai vector u→ và MN→: n→ = [u→, MN→].

6. Viết phương trình mặt phẳng: Áp dụng công thức viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm (ví dụ điểm M) và có vector pháp tuyến n→.

Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Ví dụ 1:

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x=1+ty=1−2tz=1+3t và điểm M (-4; 3; 2)

Lời giải:

• Đường thẳng d đi qua điểm N(1; 1; 1) và có vector chỉ phương u→ (1; -2; 3).
• MN→ = (-5; 2; 1).
• Vector pháp tuyến của (P) là n→ = [u→, MN→] = (-8; -16; -8) (hoặc rút gọn thành (-1; -2; -1)).
• Phương trình mặt phẳng (P): -1(x + 4) – 2(y – 3) – 1(z – 2) = 0 ⇔ x + 2y + z – 4 = 0

Ví dụ 2:

Cho điểm A (1; 2; 1) và đường thẳng d: x=2ty=1+4tz=3+t. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

Lời giải:

• Đường thẳng d đi qua điểm N(0; 1; 3) và có vector chỉ phương u→ (2; 4; 1).
• AN→ = (-1; -1; 2).
• Vector pháp tuyến của (P) là n→ = [u→, AN→] = (9; -5; -2).
• Phương trình mặt phẳng (P): 9(x – 1) – 5(y – 2) – 2(z – 1) = 0 ⇔ 9x – 5y – 2z + 3 = 0

Ví dụ 3:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A (4; -3; 1) và đường thẳng d: x+12=y−11=z+12. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa điểm A và đường thẳng d.

Lời giải:

• Đường thẳng d đi qua điểm N(-1; 1; -1) và có vector chỉ phương u→ (2; 1; 2).
• AN→ = (-5; 4; -2).
• Vector pháp tuyến của (P) là n→ = [u→, AN→] = (-10; -6; 13)
• Phương trình mặt phẳng (P): -10(x – 4) – 6(y + 3) + 13(z – 1) = 0 ⇔ -10x – 6y + 13z + 9 = 0

Trường Hợp Đặc Biệt: Mặt Phẳng Chứa Trục Tọa Độ

Khi mặt phẳng (P) chứa một trục tọa độ (ví dụ, trục Oy), ta có thể giải quyết bài toán như sau:

• Trục Oy đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vector chỉ phương j→ (0; 1; 0).
• Chọn một điểm A khác O thuộc mặt phẳng (P).
• Tính vector OA→.
• Vector pháp tuyến của (P) là n→ = [j→, OA→].
• Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua O và có vector pháp tuyến n→.

Ví dụ 4:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) qua điểm A(0; 0; 2) và chứa trục hoành có phương trình là:

Lời giải:

• Trục hoành đi qua gốc tọa độ O(0; 0; 0) và có vector chỉ phương u→ (1;0;0)
• OA→=(0; 0; 2)
• Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và đi qua điểm A nên (P) có một vecto pháp tuyến là n→=[ u→ ; OA→ ]=(0;-2;0)= -2(0;1;0)
• Phương trình mặt phẳng (P) là: y -2 =0

Bài Tập Tự Luyện

1. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: x−3−2=y+11=z+11 và điểm B(3; 1; 0).

2. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm A(2; 0; 0) và chứa trục tung.

3. Cho điểm M(1; 2; 3) và đường thẳng d: x1=y−1=z1. Viết phương trình mặt phẳng chứa điểm M và đường thẳng d.

4. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và đi qua điểm M(1; -1; 1).

5. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng d: x−12=y1=z−22. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến (P).

6. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(0; 1; 2) và đường thẳng d: x−22=y−12=z−1−3. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d. Tính khoảng cách từ điểm M(5; −1; 3) đến (P)

7. Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1). Gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất. Viết phương trình mặt phẳng (P).

8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: x−22=y−12=z−1−3 và điểm X(1;2;3). Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d sao cho khoảng cách từ X đến (P) là lớn nhất. Tìm tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Chúc các bạn học tốt và chinh phục thành công các bài toán về mặt phẳng chứa đường thẳng!