Hàm logarit và đạo hàm của nó là một phần quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông và cao cấp. Nắm vững các công thức đạo hàm log giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến hàm số, phương trình, bất phương trình và các ứng dụng thực tế. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan, chi tiết và dễ hiểu về chủ đề này, đặc biệt tập trung vào các công thức đạo hàm logarit và các dạng bài tập thường gặp.
Tổng Hợp Các Công Thức Đạo Hàm Cơ Bản
Trước khi đi sâu vào đạo hàm log, chúng ta cần nắm vững các quy tắc và công thức đạo hàm cơ bản.
Quy tắc đạo hàm tổng quát:
- (u + v)’ = u’ + v’
- (u – v)’ = u’ – v’
- (cu)’ = cu’ (với c là hằng số)
- (uv)’ = u’v + uv’
- (u/v)’ = (u’v – uv’) / v^2 (với v ≠ 0)
Ngoài ra, cần nắm vững đạo hàm của các hàm số sơ cấp:
- (x^n)’ = nx^(n-1)
- (√x)’ = 1 / (2√x)
- (c)’ = 0 (với c là hằng số)
Bảng Đạo Hàm Lượng Giác
Đạo hàm của các hàm lượng giác cũng rất quan trọng.
- (sin x)’ = cos x
- (cos x)’ = -sin x
- (tan x)’ = 1 / cos²x = 1 + tan²x
- (cot x)’ = -1 / sin²x = -(1 + cot²x)
Công Thức Đạo Hàm Logarit
Đây là trọng tâm của bài viết.
- (ln x)’ = 1/x
Đây là công thức quan trọng nhất. Từ đó, ta có thể suy ra các công thức khác.
- (logₐ x)’ = 1 / (x ln a) (với a > 0, a ≠ 1)
Lưu ý:
- Các công thức trên chỉ áp dụng khi x > 0.
- Khi gặp các hàm hợp, ta áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp: (f(u(x)))’ = f'(u(x)) * u'(x)
Công Thức Đạo Hàm Số Mũ
Công thức đạo hàm số mũ có liên quan mật thiết đến đạo hàm log.
- (e^x)’ = e^x
- (a^x)’ = a^x ln a (với a > 0)
Bảng Đạo Hàm và Nguyên Hàm
Để tiện cho việc tra cứu và sử dụng, dưới đây là bảng tổng hợp đạo hàm và nguyên hàm của một số hàm thường gặp, bao gồm cả hàm logarit.
Các Dạng Bài Toán Về Công Thức Đạo Hàm Log
Tính đạo hàm của hàm số logarit
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số y = ln(x² + 1).
Giải:
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
y’ = (1 / (x² + 1)) (x² + 1)’ = (1 / (x² + 1)) 2x = 2x / (x² + 1)
Ứng dụng đạo hàm log trong giải phương trình, bất phương trình
Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình ln(x) + x = 0.
(Bài này cần sử dụng kiến thức về xét tính đơn điệu của hàm số để giải, có sử dụng đạo hàm).
Bài toán liên quan đến tiếp tuyến
Sử dụng đạo hàm để tìm hệ số góc của tiếp tuyến, viết phương trình tiếp tuyến.
Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số logarit
Tìm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến.
Tính Đạo Hàm Bằng Định Nghĩa
f'(x )=f'(x )
Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
Ví dụ 1: f(x) = 2x +1 tại x=2
Kết luận
Nắm vững công thức đạo hàm log và các công thức liên quan là rất quan trọng để học tốt môn Toán. Hãy luyện tập thường xuyên với nhiều dạng bài tập khác nhau để thành thạo kỹ năng này. Chúc các bạn thành công!