1. Lý thuyết về giới hạn của hàm số
a) Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K chứa điểm x₀ (có thể trừ điểm x₀). Ta nói f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số (xn) bất kỳ, xn ∈ K {x₀} và xn → x₀, ta có: f(xn) → L.
Kí hiệu:
Nhận xét quan trọng: Nếu f(x) là hàm số sơ cấp và xác định tại x₀ thì:
b) Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
-
Hàm số y = f(x) có giới hạn là dương vô cực khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn → x₀ thì f(xn) → +∞. Kí hiệu:
-
Hàm số y = f(x) có giới hạn là âm vô cực khi x dần tới x₀ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn → x₀ thì f(xn) → -∞. Kí hiệu:
c) Giới hạn của hàm số tại vô cực
-
Giới hạn hữu hạn:
-
Hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞) có giới hạn là L khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → L. Kí hiệu:
-
Hàm số y = f(x) xác định trên (-∞; b) có giới hạn là L khi x → -∞ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn < b và xn → -∞ thì f(xn) → L. Kí hiệu:
-
-
Giới hạn vô cực:
-
Hàm số y = f(x) xác định trên (a; +∞) có giới hạn là dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → +∞ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn > a và xn → +∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → -∞). Kí hiệu:
-
Hàm số y = f(x) xác định trên (-∞; b) có giới hạn là dương vô cùng (hoặc âm vô cùng) khi x → -∞ nếu với mọi dãy số (xn) mà xn < b và xn → -∞ thì f(xn) → +∞ (hoặc f(xn) → -∞). Kí hiệu:
-
d) Các giới hạn đặc biệt
e) Định lý về giới hạn hữu hạn
Nếu tồn tại thì:
Chú ý: Các định lý này vẫn đúng khi thay x → x₀ bởi x → +∞ hoặc x → -∞.
f) Nguyên lý kẹp
Cho ba hàm số f(x), g(x), h(x) xác định trên K chứa điểm x₀ (có thể không xác định tại x₀). Nếu thì
g) Quy tắc về giới hạn vô cực
-
Giới hạn của tích f(x)g(x):
-
Giới hạn của thương f(x)/g(x):
h) Giới hạn một bên
- Giới hạn hữu hạn:
- Giới hạn bên phải:
- Giới hạn bên trái:
- Điều kiện tồn tại giới hạn:
2. Các dạng bài tập thường gặp về giới hạn hàm số
Dạng 1: Tính giới hạn của hàm số tại một điểm
- Phương pháp:
- Nếu f(x) là hàm số sơ cấp xác định tại x₀ thì
- Sử dụng quy tắc về giới hạn vô cực (nếu cần).
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
Dạng 2: Tính giới hạn của hàm số tại vô cực
- Phương pháp:
- Rút lũy thừa bậc cao nhất của x ra ngoài.
- Áp dụng các giới hạn đặc biệt và quy tắc về giới hạn vô cực.
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
Dạng 3: Sử dụng nguyên lý kẹp để tìm giới hạn hàm số
- Phương pháp: Tìm hai hàm số g(x) và h(x) sao cho g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) và .
Ví dụ: Tính giới hạn:
Lời giải:
Dạng 4: Khử dạng vô định 0/0
- Phương pháp: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử, hoặc nhân lượng liên hợp (nếu có căn thức) để khử nhân tử chung (x – x₀).
Ví dụ: Tính giới hạn:
Lời giải:
Dạng 5: Khử dạng vô định ∞/∞
- Phương pháp: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của x.
Ví dụ: Tính giới hạn:
Lời giải:
Dạng 6: Khử dạng vô định ∞ – ∞ và 0.∞
- Phương pháp: Biến đổi biểu thức về dạng phân thức, quy đồng mẫu số, nhân lượng liên hợp (nếu có căn thức), rồi đưa về các dạng vô định đã biết (0/0 hoặc ∞/∞).
Ví dụ: Tính giới hạn:
Lời giải:
Dạng 7: Tính giới hạn một bên
- Phương pháp: Tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải. Nếu hai giới hạn này bằng nhau thì giới hạn của hàm số tồn tại và bằng giá trị đó.
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
Lời giải:
Dạng 8: Tìm tham số để hàm số có giới hạn tại một điểm
- Phương pháp: Sử dụng điều kiện tồn tại giới hạn:
Ví dụ: Cho hàm số . Tìm a để hàm số có giới hạn tại x = 2.
Lời giải:
Tính giới hạn bên trái và giới hạn bên phải tại x = 2, rồi cho chúng bằng nhau để tìm a.
3. Bài tập tự luyện
(Danh sách các bài tập tự luyện và đáp án như trong bài gốc)
