Phương Pháp Tìm Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng
Để viết được phương trình tổng quát của một đường thẳng, bạn cần nắm vững hai yếu tố then chốt:
- Một điểm thuộc đường thẳng: Giả sử điểm đó là $A(x_0; y_0)$.
- Một vectơ pháp tuyến: Vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(a; b)$ là vectơ vuông góc với đường thẳng.
Khi đã có hai yếu tố trên, phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng:
$a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0$
Ngoài ra, nếu bạn biết một đường thẳng song song với đường thẳng cần tìm, bạn có thể sử dụng thông tin đó để đơn giản hóa bài toán. Cho đường thẳng $d: ax + by + c = 0$, nếu đường thẳng $Delta$ song song với $d$, thì $Delta$ sẽ có dạng: $ax + by + c’ = 0$ (với $c’ neq c$).
Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Để hiểu rõ hơn về cách Lập Phương Trình Tổng Quát Của đường Thẳng, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $A(1; -2)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n} = (1; -2)$.
Lời giải:
Áp dụng công thức, ta có phương trình đường thẳng là:
$1(x – 1) – 2(y + 2) = 0$
$Leftrightarrow x – 2y – 5 = 0$
Đáp án: C.
Ví dụ 2: Tìm phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M(1; -3)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1; 2)$.
Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$ là:
$1(x – 1) + 2(y + 3) = 0$
$Leftrightarrow x + 2y + 5 = 0$
Đáp án: A.
Ví dụ 3: Cho đường thẳng $(d): x – 2y + 1 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $(Delta)$ đi qua điểm $M(1; -1)$ và song song với $(d)$.
Lời giải:
Vì $Delta // d$, nên phương trình của $Delta$ có dạng: $x – 2y + c = 0$ (với $c neq 1$).
Do $M(1; -1) in (Delta)$, ta có: $1 – 2(-1) + c = 0 Leftrightarrow c = -3$.
Vậy, phương trình của $Delta$ là: $x – 2y – 3 = 0$.
Đáp án: A.
Ví dụ 4: Cho ba điểm $A(1; -2)$, $B(5; -4)$ và $C(-1; 4)$. Lập phương trình đường cao $AA’$ của tam giác $ABC$.
Lời giải:
Ta có $overrightarrow{BC} = (-6; 8)$.
Vì $AA’$ là đường cao của tam giác $ABC$, nên $AA’$ nhận $overrightarrow{n} = overrightarrow{BC} = (-6; 8)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A(1; -2)$.
Suy ra phương trình $AA’$ là: $-6(x – 1) + 8(y + 2) = 0$
$Leftrightarrow -6x + 8y + 22 = 0$
$Leftrightarrow 3x – 4y – 11 = 0$.
Đáp án: B.
Ví dụ 5: Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A(1; -3)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1; 5)$ có phương trình tổng quát là:
Lời giải:
Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là:
$1(x – 1) + 5(y + 3) = 0$
$Leftrightarrow x + 5y + 14 = 0$
Đáp án: C.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Lập phương trình đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $A$.
Lời giải:
Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $A$.
Đường thẳng $AH$ đi qua $A(2; -1)$ và nhận $overrightarrow{BC}( -7; -3)$ làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình đường cao $AH$ là:
$7(x – 2) + 3(y + 1) = 0$
$Leftrightarrow 7x + 3y – 11 = 0$
Đáp án: A.
Ví dụ 7: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $A(1; -2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $M(-2; 1)$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Lời giải:
Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao, suy ra $AM$ vuông góc $BC$.
Đường thẳng $BC$ nhận $overrightarrow{AM}(-3; 3) = -3(1; -1)$ làm vectơ pháp tuyến.
Đường thẳng $BC$ đi qua $M(-2; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n}(1; -1)$.
Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$1(x + 2) – 1(y – 1) = 0$
$Leftrightarrow x – y + 3 = 0$
Đáp án: C.
Ví dụ 8: Cho tam giác $ABC$ có đường cao $BH: x + y – 2 = 0$, đường cao $CK: 2x + 3y – 5 = 0$ và phương trình cạnh $BC: 2x – y + 2 = 0$. Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$?
Lời giải:
Gọi ba đường cao của tam giác $ABC$ đồng quy tại $P$. Tọa độ của $P$ là nghiệm của hệ phương trình:
$Rightarrow P(1; 1)$
Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình:
$Rightarrow B(0; 2)$
Tương tự, ta tìm được tọa độ $C(-3/5; 4/5)$.
Đường thẳng $AP$:
$Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $AP$:
$1(x – 1) + 2(y – 1) = 0 Leftrightarrow x + 2y – 3 = 0$
Đáp án: C.
Ví dụ 9: Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua $O$ và song song với đường thẳng $Delta: 3x + 5y – 9 = 0$ là:
Lời giải:
Do đường thẳng $d // Delta$, nên đường thẳng $d$ có dạng: $3x + 5y + c = 0$ ($c neq -9$).
Do điểm $O(0; 0)$ thuộc đường thẳng $d$, nên:
$3.0 + 5.0 + c = 0 Leftrightarrow c = 0$
Vậy phương trình đường thẳng $d: 3x + 5y = 0$
Đáp án: B.
Ví dụ 10: Cho tam giác $ABC$ có $B(-2; -4)$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Biết đường thẳng $IJ$ có phương trình $2x – 3y + 1 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
Lời giải:
Do $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
$Rightarrow IJ // BC$.
$Rightarrow$ Đường thẳng $BC$ có dạng: $2x – 3y + c = 0$ ($c neq 1$)
Mà điểm $B$ thuộc $BC$ nên: $2.(-2) – 3(-4) + c = 0 Leftrightarrow c = -8$
$Rightarrow$ phương trình đường thẳng $BC: 2x – 3y – 8 = 0$
Đáp án: B.
Ví dụ 11: Cho ba đường thẳng $(a): 3x – 2y + 5 = 0$; $(b): 2x + 4y – 7 = 0$ và $(c): 3x + 4y – 1 = 0$. Phương trình đường thẳng $d$ đi qua giao điểm của $a$ và $b$, và song song với $c$ là:
Lời giải:
Giao điểm của $(a)$ và $(b)$ nếu có là nghiệm hệ phương trình:
$Rightarrow A( -3/8 ; 31/16)$
Ta có đường thẳng $d // c$ nên đường thẳng $d$ có dạng: $3x + 4y + c = 0$ ($c neq -1$)
Vì điểm $A$ thuộc đường thẳng $d$ nên: $3.(-3/8) + 4.(31/16) + c = 0 Leftrightarrow c = -53/8$
Vậy $d: 3x + 4y + (-53/8) = 0 Leftrightarrow d: 24x + 32y – 53 = 0$
Đáp án: A.
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(2; 1)$ và nhận vectơ $overrightarrow{n}(-2; 1)$ làm VTPT?
A. $2x + y – 5 = 0$ B. $-2x + y + 3 = 0$ C. $2x – y – 4 = 0$ D. $2x + y – 1 = 0$
Lời giải:
Đáp án: B
Đường thẳng $d$:
$Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $d: -2(x – 2) + 1(y – 1) = 0$
Hay $(d): -2x + y + 3 = 0$.
Câu 2: Cho đường thẳng $(a): 2x + y – 3 = 0$ và $(b): 3x – 4y + 1 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua giao điểm của hai đường thẳng $a$ và $b$; nhận vectơ $overrightarrow{n}(2; -3)$ làm VTPT?
A. $2x – 3y + 6 = 0$ B. $-2x – 3y + 6 = 0$ C. $2x – 3y + 1 = 0$ D. $2x + 3y – 1 = 0$
Lời giải:
Đáp án: C
Giao điểm $A$ của hai đường thẳng $a$ và $b$ là nghiệm hệ phương trình:
$Rightarrow A(1; 1)$
Đường thẳng $(d)$:
$Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $d: 2(x – 1) – 3(y – 1) = 0$ hay $2x – 3y + 1 = 0$.
Câu 3: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Lập phương trình đường cao của tam giác $ABC$ kẻ từ $B$.
A. $3x – 5y + 1 = 0$ B. $3x + 5y – 20 = 0$ C. $3x + 5y – 12 = 0$ D. $5x – 3y – 5 = 0$
Lời giải:
Đáp án: D
Gọi $H$ là chân đường vuông góc kẻ từ $B$ của tam giác $ABC$.
Đường thẳng $BH$:
$Rightarrow$ Phương trình đường cao $BH$:
$5(x – 4) – 3(y – 5) = 0$ hay $5x – 3y – 5 = 0$
Câu 4: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Tìm trực tâm tam giác $ABC$?
A. (1/2; -7/6) B. (1/2; 7/6) C. (-1/2; 7/6) D. (1/2; 13/6)
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi $H$ và $K$ lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ $C$ và $B$ của tam giác $ABC$.
Đường thẳng $CH$:
$Rightarrow$ Phương trình đường cao $CH$:
$2(x + 3) + 6(y – 2) = 0$ hay $2x + 6y – 6 = 0$
$Leftrightarrow (CH): x + 3y – 3 = 0$
Đường thẳng $BK$:
=>Phương trình đường cao $BK$: $-5(x – 4) + 3(y – 5)=0$ hay $-5x + 3y + 5 = 0$.
Gọi $P$ là trực tâm tam giác $ABC$. Khi đó $P$ là giao điểm của hai đường cao $CH$ và $BK$ nên tọa độ điểm $P$ là nghiệm hệ:
Vậy trực tâm tam giác $ABC$ là $P(1/2; 7/6)$
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ có $A(2; -1)$, $B(4; 5)$ và $C(-3; 2)$. Phương trình tổng quát của đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ là:
A. $3x – 7y + 11 = 0$ B. $7x + 3y – 11 = 0$ C. $3x – 7y – 13 = 0$ D. $7x + 3y + 13 = 0$.
Lời giải:
Đáp án: B
Gọi $AH$ là đường cao của tam giác.
Đường thẳng $AH$ đi qua $A(2; -1)$ và nhận $overrightarrow{BC} = (-7; -3) = -(7; 3)$ làm VTPT
=> Phương trình tổng quát $AH: 7(x – 2) + 3(y + 1)= 0$ hay $7x + 3y – 11 = 0$
Câu 6: Cho đường thẳng $(d): 3x – 2y + 8 = 0$. Đường thẳng $Delta$ đi qua $M(3; 1)$ và song song với $(d)$ có phương trình:
A. $3x – 2y – 7 = 0$ B. $2x + 3y – 9 = 0$ C. $2x – 3y – 3 = 0$ D. $3x – 2y + 1 = 0$
Lời giải:
Đáp án: A
Do $Delta$ song song với $d$ nên có phương trình dạng: $3x – 2y + c = 0$ ($c neq 8$)
Mà $Delta$ đi qua $M (3; 1)$ nên $3.3 – 2.1 + c = 0$ nên $c = -7$
Vậy phương trình $Delta: 3x – 2y – 7 = 0$
Câu 7: Cho tam giác $ABC$ có $B(2; -3)$. Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Biết đường thẳng $IJ$ có phương trình $x – y + 3 = 0$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
A. $x + y + 2 = 0$ B. $x – y – 5 = 0$ C. $x – y + 6 = 0$ D. $x – y = 0$
Lời giải:
Đáp án: B
Do $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$ nên $IJ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.
$Rightarrow IJ // BC$.
$Rightarrow$ Đường thẳng $BC$ có dạng: $x – y + c = 0$ ($c neq 3$)
Mà điểm $B$ thuộc $BC$ nên: $2 – (-3) + c = 0 Leftrightarrow c = -5$
$Rightarrow$ phương trình đường thẳng $BC: x – y – 5 = 0$
Câu 8: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $A(3; 2)$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $M(-2; -4)$. Lập phương trình đường thẳng $BC$?
A. $6x – 5y + 13 = 0$ B. $5x – 6y + 6 = 0$ C. $5x + 6y + 34 = 0$ D. $5x + 6y + 1 = 0$
Lời giải:
Đáp án: C
Do tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên đường trung tuyến $AM$ đồng thời là đường cao
$Rightarrow AM$ vuông góc $BC$.
$Rightarrow$ Đường thẳng $BC$ nhận $overrightarrow{AM}(-5; -6) = -(5; 6)$ làm VTPT
Đường thẳng $BC$:
$Rightarrow$ Phương trình đường thẳng $BC$:
$5(x + 2) + 6(y + 4) = 0$ hay $5x + 6y + 34 = 0$
Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ và song song với trục $Ox$.
A. $y + 2 = 0$ B. $x + 1 = 0$ C. $x – 1 = 0$ D. $y – 2 = 0$
Lời giải:
Đáp án: D
Trục $Ox$ có phương trình $y = 0$
Đường thẳng $d$ song song với trục $Ox$ có dạng: $y + c = 0$ ($c neq 0$)
Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(-1; 2)$ nên $2 + c = 0 Leftrightarrow c = -2$
Vậy phương trình đường thẳng $d$ cần tìm là: $y – 2 = 0$
