Hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng quan trọng trong toán học, đặc biệt là đại số. Trong số đó, “Lập phương của một tổng” là một công thức thường gặp và có nhiều ứng dụng. Bài viết này sẽ đi sâu vào công thức này, cách sử dụng và các ví dụ minh họa.
Công thức lập phương của một tổng
Công thức lập phương của một tổng có dạng như sau:
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Công thức này cho biết, lập phương của tổng hai số a và b bằng lập phương của số a, cộng với ba lần tích của bình phương số a và số b, cộng với ba lần tích của số a và bình phương số b, cộng với lập phương của số b.
Diễn giải bằng lời
Để dễ nhớ và áp dụng, công thức trên có thể được diễn giải bằng lời như sau:
“Lập phương của một tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai cộng ba lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.”
Chứng minh công thức
Công thức lập phương của một tổng có thể được chứng minh dễ dàng bằng cách sử dụng phép nhân đa thức:
(a + b)³ = (a + b)(a + b)(a + b)
= (a + b)(a² + 2ab + b²)
= a(a² + 2ab + b²) + b(a² + 2ab + b²)
= a³ + 2a²b + ab² + a²b + 2ab² + b³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Ứng dụng của lập phương của một tổng
Công thức lập phương của một tổng có nhiều ứng dụng trong giải toán, đặc biệt là trong các bài toán rút gọn biểu thức, phân tích đa thức thành nhân tử và giải phương trình.
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức
Rút gọn biểu thức: (x + 2)³ – x³ – 6x²
Áp dụng công thức lập phương của một tổng, ta có:
(x + 2)³ = x³ + 3x²(2) + 3x(2)² + 2³
= x³ + 6x² + 12x + 8
Do đó:
(x + 2)³ – x³ – 6x² = (x³ + 6x² + 12x + 8) – x³ – 6x²
= 12x + 8
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x³ + 6x² + 12x + 8
Nhận thấy biểu thức này có dạng khai triển của lập phương một tổng, ta có thể viết lại như sau:
x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3x²(2) + 3x(2)² + 2³
= (x + 2)³
Ví dụ 3: Giải phương trình
Giải phương trình: (x + 1)³ = x³ + 7
Áp dụng công thức lập phương của một tổng, ta có:
(x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1
Thay vào phương trình, ta được:
x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 7
3x² + 3x – 6 = 0
x² + x – 2 = 0
(x – 1)(x + 2) = 0
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = -2.
Các bài tập vận dụng
Để nắm vững công thức lập phương của một tổng, bạn có thể thực hành với các bài tập sau:
- Tính: (x + 3)³
- Rút gọn biểu thức: (2x + 1)³ – 8x³ – 12x²
- Phân tích đa thức thành nhân tử: 8x³ + 36x² + 54x + 27
- Giải phương trình: (x + 2)³ = x³ + 8
Hình ảnh trên minh họa trực quan công thức lập phương của một tổng thông qua các khối hình học. Khối lập phương lớn được tạo thành từ các khối nhỏ hơn, mỗi khối đại diện cho một thành phần trong công thức khai triển (a³ , 3a²b, 3ab², b³).
Tổng kết
Công thức “Lập phương của một tổng” là một công cụ hữu ích trong toán học, giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến đa thức và phương trình. Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo công thức này sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và đạt kết quả tốt hơn trong học tập.
