Hệ Tọa Độ Oxyz: Nền Tảng Vững Chắc
Trong hình học không gian, hệ tọa độ Oxyz đóng vai trò then chốt, giúp chúng ta biểu diễn và nghiên cứu các đối tượng hình học một cách trực quan và chính xác. Hệ tọa độ này bao gồm ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau tại gốc tọa độ O.
1. Hệ Trục Tọa Độ Vuông Góc Oxyz
Hệ trục tọa độ Oxyz được tạo thành từ ba trục số Ox (trục hoành), Oy (trục tung), và Oz (trục cao) đôi một vuông góc. Mỗi trục có một vectơ đơn vị tương ứng là i→, j→, k→. Điểm gốc O, nơi ba trục giao nhau, được gọi là gốc tọa độ.
Hình ảnh minh họa hệ trục tọa độ Oxyz, thể hiện rõ các trục và vector đơn vị, giúp học sinh dễ hình dung và nắm bắt khái niệm cơ bản.
2. Tọa Độ của Vectơ trong Không Gian Oxyz
Mỗi vectơ u→ trong không gian Oxyz có thể được biểu diễn duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ đơn vị i→, j→, k→. Các hệ số của tổ hợp tuyến tính này được gọi là tọa độ của vectơ.
u→ = (x; y; z) ⇔ u→ = xi→ + yj→ + zk→
Các phép toán vectơ trong không gian Oxyz:
Cho a→ = (a1; a2; a3), b→ = (b1; b2; b3), và k là một số thực.
- Tổng và hiệu hai vectơ: a→ ± b→ = (a1 ± b1; a2 ± b2; a3 ± b3)
- Tích của một số với một vectơ: ka→ = (ka1; ka2; ka3)
- Vectơ không, vectơ đơn vị: 0→ = (0; 0; 0), i→ = (1; 0; 0), j→ = (0; 1; 0), k→ = (0; 0; 1)
- Điều kiện cùng phương: a→ cùng phương b→ (b→ ≠ 0→) ⇔ a→ = kb→ (k ∈ R)
- Tích vô hướng: a→.b→ = a1.b1 + a2.b2 + a3.b3
- Điều kiện vuông góc: a→ ⊥ b→ ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0
Hình ảnh trực quan về các phép toán vectơ, giúp người đọc dễ dàng hình dung và áp dụng vào giải bài tập.
3. Tọa Độ của Điểm trong Không Gian Oxyz
Mỗi điểm M trong không gian Oxyz được xác định bởi một bộ ba số (x; y; z), gọi là tọa độ của điểm M. Tọa độ này tương ứng với hình chiếu của M lên ba trục Ox, Oy, Oz.
M(x; y; z) ⇔ OM→ = x.i→ + y.j→ + z.k→
Trong đó:
- x: Hoành độ
- y: Tung độ
- z: Cao độ
Các trường hợp đặc biệt:
- M ∈ (Oxy) ⇔ z = 0
- M ∈ (Oyz) ⇔ x = 0
- M ∈ (Oxz) ⇔ y = 0
- M ∈ Ox ⇔ y = z = 0
- M ∈ Oy ⇔ x = z = 0
- M ∈ Oz ⇔ x = y = 0
Các công thức quan trọng:
Cho A(xA; yA; zA), B(xB; yB; zB):
- Tọa độ vectơ AB: AB→ = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)
- Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: I((xA + xB)/2; (yA + yB)/2; (zA + zB)/2)
- Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC: G((xA + xB + xC)/3; (yA + yB + yC)/3; (zA + zB + zC)/3)
- Tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD: G((xA + xB + xC + xD)/4; (yA + yB + yC + yD)/4; (zA + zB + zC + zD)/4)
Hình ảnh minh họa công thức tính tọa độ trung điểm, một công thức quan trọng trong giải toán hình học không gian.
4. Tích Có Hướng của Hai Vectơ trong Không Gian Oxyz
Tích có hướng của hai vectơ a→ = (a1; a2; a3) và b→ = (b1; b2; b3), ký hiệu là [a→, b→], là một vectơ được xác định bởi:
[a→, b→] = (a2b3 – a3b2; a3b1 – a1b3; a1b2 – a2b1)
Tính chất:
- [a→, b→] ⊥ a→; [a→, b→] ⊥ b→
- [a→, b→] = -[b→, a→]
- [i→, j→] = k→; [j→, k→] = i→; [k→, i→] = j→
- |[a→, b→]| = |a→|.|b→|.sin(a→, b→)
- a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→] = 0→
Ứng dụng:
- Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a→, b→ và c→ đồng phẳng ⇔ [a→, b→].c→ = 0
- Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = |[AB→, AD→]|
- Diện tích tam giác ABC: SABC = 1/2 |[AB→, AC→]|
- Thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’: VABCD.A’B’C’D’ = |[AB→, AD→].AA’→|
- Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 1/6 |[AB→, AC→].AD→|
Hình ảnh trình bày công thức tính tích có hướng, giúp học sinh nắm vững và áp dụng chính xác.
5. Phương Trình Mặt Cầu trong Không Gian Oxyz
Định nghĩa: Mặt cầu tâm I, bán kính R là tập hợp tất cả các điểm M cách I một khoảng R.
Phương trình tổng quát:
(x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2
Trong đó:
- I(a; b; c) là tâm của mặt cầu
- R là bán kính của mặt cầu
Dạng khai triển:
x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (với điều kiện a2 + b2 + c2 – d > 0)
Vị trí tương đối:
-
Mặt cầu và mặt phẳng: Xét khoảng cách d từ tâm I đến mặt phẳng (P).
- d < R: (P) cắt (S) theo một đường tròn.
- d = R: (P) tiếp xúc (S).
- d > R: (P) không cắt (S).
-
Mặt cầu và đường thẳng: Xét khoảng cách d từ tâm I đến đường thẳng Δ.
- d < R: Δ cắt (S) tại hai điểm phân biệt.
- d = R: Δ tiếp xúc (S).
- d > R: Δ không cắt (S).
Hình ảnh trực quan về các trường hợp giao nhau giữa mặt cầu và mặt phẳng, giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng.
Kỹ Năng Giải Bài Tập Không Gian Oxyz
Để giải quyết các bài toán liên quan đến không gian Oxyz một cách hiệu quả, cần nắm vững lý thuyết và áp dụng linh hoạt các công thức. Sau đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
1. Viết phương trình mặt cầu:
- Cách 1: Xác định tâm I(a; b; c) và bán kính R, sau đó viết phương trình theo dạng (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.
- Cách 2: Sử dụng phương trình tổng quát x2 + y2 + z2 -2ax – 2by – 2cz + d = 0 và tìm các hệ số a, b, c, d dựa trên các điều kiện đề bài.
2. Xác định sự tương giao và tiếp xúc:
- Tính khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến đường thẳng hoặc mặt phẳng.
- So sánh khoảng cách này với bán kính R để xác định mối quan hệ tương giao (cắt nhau, tiếp xúc, không giao nhau).
Nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để chinh phục các bài toán hình học không gian Oxyz. Chúc các bạn thành công!