Bài viết này cung cấp phương pháp giải các bài toán liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai mà không giải phương trình, tập trung vào việc tính giá trị biểu thức chứa nghiệm, sử dụng định lý Vi-et.
Định Lý Vi-et và Ứng Dụng
Định lý Vi-et là công cụ mạnh mẽ để giải quyết các bài toán Không Giải Phương Trình Hãy Tính Giá Trị Biểu Thức. Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), nếu phương trình có hai nghiệm x₁ và x₂, ta có:
- Tổng hai nghiệm: x₁ + x₂ = -b/a
- Tích hai nghiệm: x₁ * x₂ = c/a
Hình ảnh minh họa công thức Vi-et giúp học sinh dễ dàng ghi nhớ và áp dụng vào giải toán.
Các bước thực hiện:
-
Kiểm tra điều kiện có nghiệm: Tính biệt thức Δ = b² – 4ac.
- Nếu Δ < 0: Phương trình vô nghiệm, không tồn tại tổng và tích các nghiệm.
- Nếu Δ ≥ 0: Phương trình có nghiệm (có thể nghiệm kép), chuyển sang bước 2.
-
Áp dụng định lý Vi-et: Xác định tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm x₁ và x₂ dựa vào hệ số a, b, c của phương trình.
- S = x₁ + x₂ = -b/a
- P = x₁ * x₂ = c/a
-
Biến đổi biểu thức: Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ và các phép biến đổi đại số để biểu diễn biểu thức cần tính theo tổng S và tích P. Các hằng đẳng thức thường dùng:
- x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = S² – 2P
- (x₁ – x₂)² = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = S² – 4P
- x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – x₁x₂ + x₂²) = (x₁ + x₂)((x₁ + x₂)² – 3x₁x₂) = S(S² – 3P)
-
Thay thế và tính toán: Thay các giá trị S và P đã tìm được vào biểu thức đã biến đổi để tính giá trị cuối cùng.
Hình ảnh thể hiện rõ ràng công thức tính tổng và tích hai nghiệm theo định lý Vi-et.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho phương trình x² – 5x + 6 = 0. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = x₁² + x₂².
Giải:
- Δ = (-5)² – 4 1 6 = 25 – 24 = 1 > 0. Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Theo Vi-et:
- x₁ + x₂ = -(-5)/1 = 5
- x₁ * x₂ = 6/1 = 6
- A = x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ = 5² – 2 * 6 = 25 – 12 = 13
Vậy A = 13.
Ví dụ 2: Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + 2 = 0. Không giải phương trình, hãy tính x₁ + x₂ và x₁x₂ theo m.
Giải:
Theo Vi-et:
- x₁ + x₂ = 2(m+1)
- x₁x₂ = m² + 2
Ví dụ 3: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình: x2 – 5x + 2 = 0. Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22
Giải
Vì phương trình có 2 nghiệm x1, x2 nên theo Vi-et ta có:
Ảnh minh họa cách tính giá trị biểu thức chứa nghiệm bằng định lý Vi-et, giúp học sinh nắm bắt phương pháp.
A = x12 + x22 = (x1 + x2)2-2×1.x2 = 52 – 2.2 = 25 – 4 = 21
Vậy A = 21
Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho phương trình 2x² – 3x – 5 = 0. Không giải phương trình, tính x₁ + x₂ và x₁ * x₂.
Câu 2: Cho phương trình x² – mx + m – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của A = x₁² + x₂² theo m.
Câu 3: Tìm m để phương trình x² – 2mx + m² – 1 = 0 có hai nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ + x₂ = 4. Không giải phương trình, hãy tìm x₁ và x₂.
Câu 4: Biết x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – 3x – m = 0.
Tính giá trị của biểu thức A = x12(1 – x2) + x22(1-x1)
Hình ảnh thể hiện cách biến đổi và tính toán biểu thức A bằng định lý Vi-et một cách chi tiết.
Câu 5: Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 +2 = 0. Tìm m để biểu thức A = x1.x2 – 2(x1 + x2) – 6 đạt giá trị nhỏ nhất
Hình ảnh minh họa cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A, một dạng bài tập thường gặp.
Lời Kết
Hy vọng với các kiến thức và bài tập trên, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán về phương trình bậc hai mà không cần giải phương trình, chỉ cần tính giá trị biểu thức một cách nhanh chóng và chính xác. Nắm vững định lý Vi-et và các kỹ năng biến đổi đại số là chìa khóa để thành công. Chúc các bạn học tốt!
