Trong hình học không gian Oxyz, việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một bài toán quan trọng và thường gặp. Công thức này không chỉ xuất hiện trong các bài tập trắc nghiệm mà còn ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác của toán học và kỹ thuật. Bài viết này sẽ cung cấp công thức tính Khoảng Cách Từ Tâm đến Mặt Phẳng một cách chi tiết, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện giúp bạn nắm vững kiến thức.
Công Thức Tổng Quát Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Mặt Phẳng
Cho điểm M(x₀; y₀; z₀) và mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0, với A² + B² + C² > 0.
Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), ký hiệu là d(M, (P)), được tính theo công thức:
d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)Trong đó:
- |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| là giá trị tuyệt đối của biểu thức thu được khi thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P).
- √(A² + B² + C²) là căn bậc hai của tổng bình phương các hệ số của x, y, z trong phương trình mặt phẳng (P).
Công thức này cho phép tính khoảng cách từ bất kỳ điểm nào đến một mặt phẳng đã cho. Khi điểm M là tâm của một hình cầu, chúng ta có thể áp dụng công thức này để tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến một mặt phẳng, điều này rất hữu ích trong các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa hình cầu và mặt phẳng.
Ví Dụ Minh Họa Tính Khoảng Cách Từ Điểm Đến Mặt Phẳng
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, hãy xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm A(3; 0; -1) đến các mặt phẳng sau:
a) (P): x + 2y – z + 2 = 0;
b) (Q): 2x – y + 3z – 2 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) Áp dụng công thức, ta có:
d(A, (P)) = |1.3 + 2.0 – 1.(-1) + 2| / √(1² + 2² + (-1)²) = |3 + 0 + 1 + 2| / √6 = 6 / √6 = √6b) Tương tự, ta có:
d(A, (Q)) = |2.3 – 1.0 + 3.(-1) – 2| / √(2² + (-1)² + 3²) = |6 – 0 – 3 – 2| / √14 = 1 / √14 = √14 / 14Ví dụ 2: Cho điểm I(2; 1; -3) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + m = 0. Tìm m để khoảng cách từ I đến (P) bằng 7.
Hướng dẫn giải:
Ta có:
d(I, (P)) = |2.2 – 1.1 + 2.(-3) + m| / √(2² + (-1)² + 2²) = |4 – 1 – 6 + m| / √9 = |m – 3| / 3Theo đề bài, d(I, (P)) = 7, suy ra:
|m – 3| / 3 = 7|m – 3| = 21Từ đó, ta có hai trường hợp:
- TH1: m – 3 = 21 ⇒ m = 24
- TH2: m – 3 = -21 ⇒ m = -18
Vậy m ∈ {-18; 24}.
Bài Tập Tự Luyện Về Khoảng Cách Từ Tâm Đến Mặt Phẳng
Để củng cố kiến thức, bạn hãy thử sức với các bài tập sau:
Bài 1: Cho mặt phẳng (P): 2x + y + 2z – 3 = 0 và điểm A(2; 4; -1). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P).
Bài 2: Cho mặt phẳng (P): x – 2y + 3z – 2 = 0 và (Q): 2x – 4y + 6z + 3 = 0.
a) Chứng minh rằng (P) // (Q).
b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).
Bài 3: Tính chiều cao của tứ diện ABCD biết A(5; 0; 1), B(1; 1; 1), C(2; 3; 4), D(5; 2; 3). (Gợi ý: Chọn một mặt làm đáy và tính khoảng cách từ đỉnh còn lại đến mặt phẳng chứa đáy).
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): 2x – y + 2z – m = 0 và điểm A(2; 3; 2). Tìm m để khoảng cách từ A đến (Q) bằng 4.
Bài 5: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P): x – 2 = 0 và (Q): x – 9 = 0.
Ứng Dụng Thực Tế Của Việc Tính Khoảng Cách Từ Tâm Đến Mặt Phẳng
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng không chỉ là một bài toán lý thuyết mà còn có nhiều ứng dụng thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực sau:
- Thiết kế kiến trúc và xây dựng: Xác định vị trí tối ưu của các cấu trúc so với mặt đất hoặc các mặt phẳng tham chiếu.
- Đồ họa máy tính: Tính toán khoảng cách giữa các đối tượng 3D để tạo hiệu ứng va chạm và tương tác thực tế.
- Robot học: Lập kế hoạch đường đi cho robot tránh chướng ngại vật.
- Trắc địa và bản đồ: Xác định độ cao và khoảng cách trong không gian ba chiều.
- Vật lý: Tính toán lực tương tác giữa các hạt mang điện và các mặt phẳng tích điện.
Nắm vững công thức và cách áp dụng nó vào các bài toán cụ thể sẽ giúp bạn giải quyết nhiều vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
Kết Luận
Công thức tính khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng là một công cụ mạnh mẽ trong hình học không gian Oxyz. Bằng cách hiểu rõ công thức, luyện tập với các ví dụ và bài tập tự luyện, bạn sẽ có thể áp dụng nó vào nhiều bài toán khác nhau và nâng cao khả năng giải toán của mình. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về chủ đề này.