A. Tổng Quan Về Khoảng Cách Từ Điểm Đến Mặt Phẳng
Để giải quyết bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đặc biệt trong hình chóp, việc xác định hình chiếu vuông góc của điểm đó lên mặt phẳng là yếu tố then chốt.
Phương pháp hình chiếu:
Cho SA vuông góc với Δ, với S thuộc mặt phẳng (α) và Δ nằm trong (α).
Alt: Hình vẽ minh họa bước 1: Dựng AK vuông góc với delta, suy ra delta vuông góc với mặt phẳng (SAK) và (alpha) vuông góc (SAK) với giao tuyến SK.
Bước 1: Dựng AK vuông góc với Δ. Khi đó, Δ vuông góc với mặt phẳng (SAK), suy ra (α) vuông góc (SAK) và giao tuyến của chúng là SK.
Bước 2: Dựng AP vuông góc với SK. Khi đó, AP vuông góc với (α), và khoảng cách từ A đến (α) chính là độ dài đoạn AP. Tức là, d(A, (α)) = AP.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: (Đề minh họa) Cho tam giác đều ABC cạnh a nằm trong mặt phẳng (P). Trên tia Ax vuông góc với (P) lấy điểm S sao cho SA = a. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Alt: Hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với (ABC).
Hướng dẫn giải:
Alt: Hình vẽ phân tích và dựng điểm M là trung điểm BC, AH vuông góc SM để suy ra AH vuông góc (SBC).
- Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A trên SM.
- BC vuông góc AM (trong tam giác đều, đường trung tuyến đồng thời là đường cao). BC vuông góc SA (SA vuông góc (ABC)). Suy ra, BC vuông góc (SAM), do đó BC vuông góc AH.
- AH vuông góc SM, suy ra AH vuông góc (SBC).
- Vậy, khoảng cách từ A đến (SBC) là AH.
Alt: Hình vẽ minh họa tính AM = a√3/2, tính AH theo công thức đường cao trong tam giác vuông.
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc (ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật với AD = 2a, SA = a. Tính khoảng cách từ A đến (SCD).
Alt: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với (ABCD).
Hướng dẫn giải:
Alt: Hình vẽ phân tích và dựng AH vuông góc SD, suy ra AH vuông góc (SCD).
- SA vuông góc (ABCD) nên SA vuông góc CD, AD vuông góc CD.
- Suy ra (SAD) vuông góc CD.
- Trong (SAD), kẻ AH vuông góc SD tại H.
- Khi đó, AH vuông góc (SCD).
- Vậy, khoảng cách từ A đến (SCD) là AH.
Alt: Hình vẽ tính AH dựa vào công thức 1/AH² = 1/SA² + 1/AD².
Ví dụ 3: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC).
Alt: Hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a.
Hướng dẫn giải:
Alt: Hình vẽ SO vuông góc (ABC), tính AO và SO.
- Gọi O là trọng tâm tam giác ABC. Vì ABC là tam giác đều nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
- SA = SB = SC và OA = OB = OC nên SO là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do đó, SO vuông góc (ABC).
- Vậy, khoảng cách từ S đến (ABC) là SO.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ A đến (BCD).
Alt: Hình tứ diện đều ABCD, tất cả các cạnh bằng a.
Lời giải:
Alt: Hình vẽ tứ diện đều, O là trọng tâm tam giác BCD, AO vuông góc (BCD), tính AO.
Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và góc ∠BAD = 60°. Đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) và SO = 3a/4. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC).
Alt: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi, góc BAD = 60 độ, SO vuông góc với (ABCD).
Lời giải:
Alt: Hình vẽ dựng thêm OK vuông góc BC, OH vuông góc SK, suy ra OH vuông góc (SBC).
(Các câu hỏi và lời giải tiếp theo được trình bày tương tự)
D. Bài Tập Tự Luyện
(Danh sách bài tập tự luyện)
Bài viết này cung cấp phương pháp và các ví dụ minh họa chi tiết để tính Khoảng Cách Từ điểm đến Mặt Phẳng Trong Hình Chóp, giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào giải bài tập hiệu quả. Việc xác định chính xác hình chiếu vuông góc là chìa khóa để giải quyết các bài toán loại này. Chúc các bạn học tốt!
