A. Tổng Quan Về Khoảng Cách Từ Điểm Đến Đường Thẳng
Trong hình học không gian lớp 11, việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng là một kỹ năng quan trọng. Khoảng cách này được định nghĩa là độ dài đoạn vuông góc hạ từ điểm đó xuống đường thẳng. Để giải quyết các bài toán liên quan, ta cần xác định được hình chiếu vuông góc của điểm trên đường thẳng.
Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ, ta thực hiện các bước sau:
- Xác định hình chiếu H của M trên Δ: H là giao điểm của Δ và đường thẳng đi qua M vuông góc với Δ.
- Tính độ dài đoạn MH: MH chính là khoảng cách cần tìm, d(M, Δ) = MH.
Có hai phương pháp chính để dựng điểm H:
- Phương pháp 1: Trong mặt phẳng chứa M và Δ, vẽ MH vuông góc với Δ. Khi đó, d(M; Δ) = MH.
- Phương pháp 2: Dựng mặt phẳng (α) đi qua M và vuông góc với Δ tại H. Khi đó, d(M; Δ) = MH.
Hai công thức thường dùng để tính độ dài MH:
-
Trong tam giác vuông: Nếu tam giác AMB vuông tại M và có đường cao AH, ta có:
Alt text: Hình vẽ minh họa công thức tính độ dài đường cao AH trong tam giác vuông AMB, phục vụ việc tính khoảng cách.
-
Sử dụng diện tích tam giác: Nếu MH là đường cao của tam giác MAB, ta có:
Alt text: Minh họa công thức tính chiều cao MH của tam giác MAB thông qua diện tích, áp dụng để tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
B. Các Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp trên, ta xét một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2; BC = a. Tính khoảng cách từ S đến BC.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình chóp S.ABC với SA vuông góc (ABC), AH vuông góc BC, dùng để tính khoảng cách từ S đến BC.
-
Dựng hình chiếu: Kẻ AH vuông góc với BC. Vì SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC. Mà AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH). Suy ra SH ⊥ BC. Khoảng cách từ S đến BC là SH.
Alt text: Phân tích mối quan hệ vuông góc trong hình chóp S.ABC, làm rõ cách xác định hình chiếu H để tính khoảng cách.
-
Tính toán: Tam giác SAH vuông tại A nên ta có:
Alt text: Biểu thức toán học liên quan đến việc tính SH dựa vào định lý Pythagore trong tam giác vuông, ứng dụng vào bài toán khoảng cách.
Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng AM.
Alt text: Mô tả hình chóp ABCD với các yếu tố AC vuông góc (BCD), M là trung điểm BD, sử dụng để tính khoảng cách từ C đến AM.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Chi tiết hóa hình vẽ, thể hiện rõ các đoạn thẳng và góc vuông cần thiết để giải bài toán khoảng cách từ C đến AM.
-
Tính CM: Vì BCD là tam giác đều cạnh a, CM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao và MC = a√3/2.
-
Xác định vuông góc: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AM.
-
Tính CH: Ta có:
Alt text: Phương trình tính CH, khoảng cách từ C đến AM, dựa trên các cạnh của tam giác vuông ACM.
Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC trong đó SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một và SA = 3a; SB = a; SC = 2a. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.
Alt text: Hình ảnh tứ diện SABC với các cạnh SA, SB, SC vuông góc nhau, dùng để minh họa việc tính khoảng cách từ A đến BC.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ bổ sung các đường cao và yếu tố vuông góc, hỗ trợ việc tính toán khoảng cách từ A đến BC trong tứ diện.
Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) và BCD là tam giác đều cạnh a. Biết AC = a√2 và M là trung điểm của BD. Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng BD.
Alt text: Hình chóp A.BCD có đáy là tam giác đều và cạnh bên AC vuông góc với đáy, minh họa cho bài toán tính khoảng cách.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Các đường thẳng và điểm quan trọng được đánh dấu, giúp hình dung và giải quyết bài toán tìm khoảng cách từ A đến BD.
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD), đáy ABCD là hình thoi cạnh a và ∠B = 60°. Biết SA = 2a. Tính khoảng cách từ A đến SC.
Alt text: Hình chóp S.ABCD với đáy là hình thoi, góc B bằng 60 độ và SA vuông góc với đáy, phục vụ cho việc tính khoảng cách.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Các đường cao và yếu tố hình học khác được thể hiện rõ ràng, giúp đơn giản hóa việc giải bài toán khoảng cách từ A đến SC.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S. ABCD có SA ⊥ (ABCD); SA = 2a, ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi O là tâm của ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC.
Alt text: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là tâm đáy và SA vuông góc với đáy, dùng để tính khoảng cách từ O đến SC.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Hình vẽ bổ sung các đường cao và các yếu tố hỗ trợ, giúp dễ dàng hơn trong việc tính toán khoảng cách từ O đến SC.
Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi một cạnh bên và mặt đáy bằng α. Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến một cạnh bên.
Alt text: Hình chóp tứ giác đều S.ABCD với các yếu tố về cạnh đáy và góc giữa cạnh bên với mặt đáy, phục vụ việc tính khoảng cách.
Hướng dẫn giải:
Alt text: Thể hiện chi tiết các đoạn thẳng và yếu tố vuông góc, giúp việc tính toán khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên trở nên trực quan hơn.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA, AB, BC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6. Tính khoảng cách từ B đến SC.
Alt text: Hình chóp S.ABC với SA, AB, BC vuông góc nhau, dùng để tính khoảng cách từ B đến SC.
Lời giải:
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’.
Alt text: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ được sử dụng để tính khoảng cách từ đỉnh A đến đường thẳng CD’.
Lời giải:
Alt text: Hình vẽ chi tiết với các yếu tố hỗ trợ giúp việc tính khoảng cách từ A đến CD’ trong hình lập phương trở nên dễ dàng.
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng DB’.
Alt text: Hình lập phương được sử dụng để minh họa bài toán tính khoảng cách từ một đỉnh đến đường chéo không gian.
Lời giải:
Alt text: Các đường cao và yếu tố vuông góc được thể hiện, giúp tính toán khoảng cách từ A đến DB’ trong hình lập phương.
Câu 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Những điểm nào sau đây cách đều đường chéo AC’?
Alt text: Hình lập phương và đường chéo AC’ được sử dụng để tìm các điểm cách đều đường chéo này.
Lời giải:
Câu 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và đường cao SO = a√3/3. Tính khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA.
Alt text: Hình chóp tam giác đều S.ABC được dùng để minh họa bài toán tính khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên.
Lời giải:
Alt text: Các đoạn thẳng và góc vuông được thể hiện rõ ràng, giúp đơn giản hóa việc tính khoảng cách từ O đến SA.
Câu 6: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính khoảng cách từ đỉnh A của hình lập phương đó đến đường thẳng CD’.
Alt text: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ được sử dụng để tính khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng chéo.
Lời giải:
Alt text: Hình vẽ chi tiết hỗ trợ việc tính toán khoảng cách từ A đến CD’ trong không gian.
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vuông góc với (ABC) và SA = 3a. Diện tích tam giác ABC bằng 2a2, BC = a. Khoảng cách từ S đến BC bằng bao nhiêu?
Bài 2. Cho một khối chóp S.ABC, có đáy ABC là một tam giác vuông tại B, biết độ dài các cạnh BA = a, BC = 2a và SA = 2a, đồng thời cạnh SA ⊥ (ABC). Gọi K là hình chiếu của điểm A lên đường thẳng SC. Hãy tính khoảng cách từ điểm K đến mặt phẳng (SAB)?
Bài 3. Cho một hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình chữ nhật, biết cạnh AD = 2a và vuông góc với đáy, cạnh SA = a. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)?
Bài 4. Cho một hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là một hình vuông với cạnh bằng a. Biết tam giác SAB là tam giác đều và mặt phẳng (SAB) ⊥ (ABCD). Gọi I và F lần lượt là trung điểm của 2 đoạn thẳng AB và AD, hãy tính d(I, (SFC))?
Bài 5. Cho một hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là một hình thang vuông tại A và D, biết độ dài cạnh AD = AB = a và độ dài cạnh CD = 2a, SD = a và SD ⊥ (ABCD).
a) Tính d(D, (SBC)).
b) Tính Tính d(A, (SBC)).
