Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về Khoảng Cách Từ điểm đến đường Thẳng Lớp 10, bao gồm công thức tính, các dạng bài tập thường gặp và ứng dụng thực tế. Giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.
1. Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm M(x₀; y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:
d(M, d) =
Trong đó:
- |ax₀ + by₀ + c| là giá trị tuyệt đối của biểu thức ax₀ + by₀ + c
- a, b là hệ số của x và y trong phương trình đường thẳng d
- x₀, y₀ là tọa độ của điểm M
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm M(1; -1) đến đường thẳng d: 3x – 4y – 21 = 0
Áp dụng công thức, ta có:
d(M, d) = |3(1) – 4(-1) – 21| / √(3² + (-4)²) = |-14| / √25 = 14/5
2. Các bước giải bài tập tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Để giải các bài tập về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 10, các em học sinh nên thực hiện theo các bước sau:
- Xác định tọa độ điểm và phương trình đường thẳng: Đọc kỹ đề bài và xác định rõ tọa độ của điểm (x₀, y₀) và phương trình đường thẳng (ax + by + c = 0). Nếu phương trình đường thẳng chưa ở dạng tổng quát, hãy chuyển đổi về dạng này.
- Áp dụng công thức: Thay các giá trị a, b, c, x₀, y₀ vào công thức tính khoảng cách d(M, d) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
- Tính toán và đưa ra kết quả: Thực hiện các phép tính để tìm ra giá trị của d(M, d). Kết quả này chính là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d.
3. Ví dụ minh họa và bài tập có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Tìm khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d: (x/6) + (y/8) = 1
- Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tổng quát: 8x + 6y – 48 = 0
- Bước 2: Áp dụng công thức: d(O, d) = |8(0) + 6(0) – 48| / √(8² + 6²) = 48 / 10 = 4.8
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M(2; 0) đến đường thẳng d: (x-1)/3 = (y-2)/4
- Bước 1: Chuyển phương trình đường thẳng d về dạng tổng quát: 4(x – 1) – 3(y – 2) = 0 <=> 4x – 3y + 2 = 0
- Bước 2: Áp dụng công thức: d(M, d) = |4(2) – 3(0) + 2| / √(4² + (-3)²) = 10 / 5 = 2
Ví dụ 3: Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) tiếp xúc với đường thẳng d: 8x + 6y + 100 = 0. Tính bán kính R của (C).
- Bán kính R của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d.
- Áp dụng công thức: R = d(O, d) = |8(0) + 6(0) + 100| / √(8² + 6²) = 100 / 10 = 10
Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng (a): x – 3y + 4 = 0 và (b): 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng (Δ): 3x + y + 16 = 0.
-
Bước 1: Tìm tọa độ giao điểm A của (a) và (b) bằng cách giải hệ phương trình:
x – 3y + 4 = 0
2x + 3y – 1 = 0Giải hệ, ta được A(-1; 1)
-
Bước 2: Tính khoảng cách từ A đến (Δ): d(A, Δ) = |3(-1) + 1 + 16| / √(3² + 1²) = 14 / √10 = 7√10 / 5
4. Ứng dụng của công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng
Công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 10 có nhiều ứng dụng quan trọng trong hình học và các bài toán liên quan, bao gồm:
- Tính chiều cao của tam giác: Khoảng cách từ một đỉnh đến cạnh đối diện là chiều cao của tam giác ứng với cạnh đó.
- Tính diện tích tam giác: Sử dụng công thức diện tích tam giác S = (1/2) đáy chiều cao, trong đó chiều cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đáy.
- Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng: Bán kính đường tròn bằng khoảng cách từ tâm đến đường thẳng đó.
- Giải các bài toán liên quan đến hình chữ nhật, hình bình hành: Tính diện tích, chu vi dựa trên khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
5. Bài tập tự luyện
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, các em học sinh nên tự giải các bài tập sau:
- Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.
- Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đường thẳng d: 3x + 2y – 1 = 0.
- Tính khoảng cách từ điểm A(–5; 2) đến đường thẳng d: 2x –y + 5 = 0.
- Đường tròn (C) có tâm I (–2; –2) và tiếp xúc với đường thẳng d: 5x + 12y – 10 = 0. Tính bán kính R của đường tròn (C).
- Hai cạnh của hình chữ nhật nằm trên hai đường thẳng (d1): 2x – 3y + 6 = 0 và (d2): 5x + 3y – 2 = 0, đỉnh A(3; 5). Tính diện tích của hình chữ nhật.
Lưu ý: Khi giải bài tập, cần chú ý đến dấu của các hệ số và tọa độ điểm để tránh sai sót trong quá trình tính toán.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh đầy đủ kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải các bài toán về khoảng cách từ điểm đến đường thẳng lớp 10. Chúc các em học tốt!
