Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là trong phần hình học không gian. Việc nắm vững công thức và phương pháp giải bài tập liên quan sẽ giúp bạn tự tin hơn khi đối mặt với các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn công thức, ví dụ minh họa chi tiết và bài tập tự luyện để bạn có thể ôn tập hiệu quả.
Công Thức Tính Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Mặt Phẳng
Cho điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình: $Ax + By + Cz + D = 0$, với $A^2 + B^2 + C^2 > 0$.
Khoảng cách từ điểm $M_0$ đến mặt phẳng $(P)$, ký hiệu là $d(M_0, (P))$, được tính theo công thức:
$$d(M_0, (P)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$
Alt text: Minh họa công thức tính khoảng cách từ điểm M0(x0, y0, z0) đến mặt phẳng Ax + By + Cz + D = 0, thể hiện rõ các thành phần và phép tính.
Lưu ý:
- Mặt phẳng $(P)$ cần được đưa về dạng tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$.
- Công thức trên áp dụng cho không gian Oxyz.
Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng công thức, hãy cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm $A(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): 2x – y + 2z – 3 = 0$.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức, ta có:
$d(A, (P)) = frac{|2.1 – 1.2 + 2.(-1) – 3|}{sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = frac{|-5|}{sqrt{9}} = frac{5}{3}$
Vậy, khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(P)$ là $frac{5}{3}$.
Ví dụ 2: Cho điểm $B(0; -1; 3)$ và mặt phẳng $(Q): x + 2y – z + 5 = 0$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(Q)$.
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức, ta có:
$d(B, (Q)) = frac{|1.0 + 2.(-1) – 1.3 + 5|}{sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}} = frac{|0 – 2 – 3 + 5|}{sqrt{6}} = frac{0}{sqrt{6}} = 0$
Vậy, khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(Q)$ là $0$, điều này có nghĩa là điểm $B$ nằm trên mặt phẳng $(Q)$.
Ví dụ 3: Tìm $m$ để khoảng cách từ điểm $I(2; 1; -3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x – y + 2z + m = 0$ bằng 3.
Hướng dẫn giải:
Ta có: $d(I, (P)) = frac{|2.2 – 1.1 + 2.(-3) + m|}{sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}} = frac{|m – 3|}{3}$
Theo đề bài, $d(I, (P)) = 3$, suy ra:
$frac{|m – 3|}{3} = 3 Leftrightarrow |m – 3| = 9$
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $m – 3 = 9 Leftrightarrow m = 12$
- Trường hợp 2: $m – 3 = -9 Leftrightarrow m = -6$
Vậy, $m in {-6; 12}$.
Alt text: Hướng dẫn giải chi tiết ví dụ về tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, bao gồm các bước áp dụng công thức và giải phương trình để tìm ẩn số.
Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm $M(3; -2; 1)$ đến mặt phẳng $(R): x – 2y + 2z + 4 = 0$.
Bài 2: Cho điểm $N(-1; 0; 2)$ và mặt phẳng $(S): 3x + 4y – 5z + 10 = 0$. Tính khoảng cách từ điểm $N$ đến mặt phẳng $(S)$.
Bài 3: Tìm $n$ để khoảng cách từ điểm $K(1; -1; 2)$ đến mặt phẳng $(T): x + y + nz – 5 = 0$ bằng $sqrt{3}$.
Bài 4: Cho hai mặt phẳng song song $(P): x – 2y + z – 3 = 0$ và $(Q): x – 2y + z + 5 = 0$. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng này.
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y – 2z – 3 = 0 và điểm A(1; 2; 0). Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Gợi ý:
- Bài 4: Chọn một điểm bất kỳ trên mặt phẳng $(P)$ rồi tính khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng $(Q)$.
- Bài 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P), sau đó tìm giao điểm của đường thẳng này với (P).
Ứng Dụng Thực Tế
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng không chỉ có ý nghĩa trong toán học mà còn được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như:
- Kiến trúc và xây dựng: Xác định khoảng cách an toàn giữa các công trình.
- Đồ họa máy tính: Tính toán khoảng cách trong không gian 3D để xử lý hình ảnh và mô hình.
- Vật lý: Tính toán khoảng cách trong các bài toán liên quan đến lực và chuyển động.
Alt text: Hình ảnh minh họa ứng dụng của công thức khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong kiến trúc và xây dựng, ví dụ như tính khoảng cách an toàn giữa các tòa nhà.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn đầy đủ kiến thức về công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Chúc bạn học tốt!
