Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ kiến thức về cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy, bao gồm công thức, ví dụ minh họa, bài tập vận dụng và tự luyện.
1. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình tổng quát: ax + by + c = 0 và điểm M có tọa độ (x0; y0). Khi đó, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, ký hiệu là d(M, d), được tính theo công thức:
d(M, d) = |ax0 + by0 + c| / √(a² + b²)
Lưu ý:
- Đảm bảo phương trình đường thẳng d đã được đưa về dạng tổng quát trước khi áp dụng công thức.
- Giá trị tuyệt đối đảm bảo khoảng cách luôn là một số không âm.
- Mẫu số
√(a² + b²)là độ dài của vector pháp tuyến của đường thẳng d.
2. Các bước tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta thực hiện theo các bước sau:
- Xác định tọa độ điểm và phương trình đường thẳng: Xác định tọa độ của điểm M (x0; y0) và phương trình đường thẳng d: ax + by + c = 0.
- Thay số vào công thức: Thay các giá trị x0, y0, a, b, c vào công thức tính khoảng cách.
- Tính toán: Thực hiện các phép tính để tìm ra khoảng cách d(M, d).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính khoảng cách từ điểm M(1; -1) đến đường thẳng (d): 3x – 4y – 21 = 0.
Giải:
Áp dụng công thức, ta có:
d(M, d) = |3(1) - 4(-1) - 21| / √(3² + (-4)²) = |-14| / √25 = 14/5 = 2.8
Vậy, khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là 2.8.
Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O(0; 0) đến đường thẳng d: (x/6) + (y/8) = 1.
Giải:
Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát: (x/6) + (y/8) = 1 => 8x + 6y - 48 = 0
Áp dụng công thức, ta có:
d(O, d) = |8(0) + 6(0) - 48| / √(8² + 6²) = |-48| / √100 = 48/10 = 4.8
Vậy, khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d là 4.8.
4. Ứng dụng của việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Tìm bán kính đường tròn tiếp xúc với đường thẳng: Nếu một đường tròn có tâm là điểm M và tiếp xúc với đường thẳng d, thì bán kính của đường tròn chính là khoảng cách từ M đến d.
- Tính chiều cao của tam giác: Trong tam giác ABC, chiều cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh BC chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC.
- Tính diện tích tam giác, hình bình hành: Khoảng cách từ một đỉnh đến cạnh đối diện có thể được sử dụng để tính diện tích các hình này.
- Trong lập trình game và đồ họa máy tính: Tính khoảng cách giữa các đối tượng để xác định va chạm hoặc tương tác.
- Bài toán tối ưu hóa: Tìm điểm gần nhất trên một đường thẳng đến một điểm cho trước.
Ví dụ 3: Đường tròn (C) có tâm là gốc tọa độ O(0; 0) và tiếp xúc với đường thẳng (d): 8x + 6y + 100 = 0. Tính bán kính R của đường tròn (C).
Giải:
Vì đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (C), nên khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng d chính là bán kính R.
R = d(O, d) = |8(0) + 6(0) + 100| / √(8² + 6²) = 100 / √100 = 10
Vậy, bán kính của đường tròn (C) là 10.
5. Bài tập vận dụng
Dưới đây là một số bài tập vận dụng để bạn luyện tập:
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 3) đến đường thẳng d: 5x – 3y – 2 = 0.
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm B(3; -5) đến đường thẳng {x = 2 + 3t; y = 5 – 2t}.
Bài 3: Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(0; 3) và C(4; 0). Tính chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A.
6. Lời kết
Hiểu rõ công thức và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để nắm vững cách tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn thành công!
