Trong hình học giải tích, việc xác định Khoảng Cách Giữa Hai đường Thẳng Song Song là một bài toán quan trọng và có nhiều ứng dụng. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để giúp bạn nắm vững kiến thức này.
Phương Pháp Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song
Cho hai đường thẳng song song (d) và (d’). Khoảng cách giữa chúng được tính bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.
Công thức: d(d, d’) = d(A, d’), trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.
Quy trình thực hiện:
- Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát: Ax + By + C = 0
- Chọn một điểm A bất kỳ thuộc đường thẳng d.
- Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.
- Kết luận: d(d, d’) = d(A, d’)
Ví Dụ Minh Họa Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song
Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x – 8y – 101 = 0 và d: 3x – 4y = 0.
Giải:
-
Kiểm tra tính song song: Ta thấy rằng tỉ lệ các hệ số của x và y bằng nhau (6/3 = -8/-4), do đó hai đường thẳng song song.
Alt text: Kiểm tra tỉ lệ hệ số để xác định hai đường thẳng có song song hay không, một bước quan trọng trong bài toán khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
-
Chọn điểm: Chọn điểm O(0; 0) thuộc đường thẳng d.
-
Tính khoảng cách: Khoảng cách từ O đến ∆ là:
d(O, ∆) = |(6*0) – (8*0) – 101| / √(6² + (-8)²) = 101 / 10 = 10.1
d(∆; d) = d ( O; ∆) = = 10,1
Alt text: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm O(0;0) đến đường thẳng Delta, minh họa cách tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
-
Kết luận: Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng là 10.1.
Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y – 3 = 0 và ∆: 7(x + 2) + 1(y – 2) = 0.
Giải:
-
Đưa về dạng tổng quát: ∆: 7x + y + 12 = 0
-
Kiểm tra tính song song: Rõ ràng hai đường thẳng song song.
-
Chọn điểm: Chọn A(0; 3) thuộc d.
-
Tính khoảng cách:
Đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:
∆:
Alt text: Chuyển đổi phương trình tham số về dạng tổng quát để dễ dàng áp dụng công thức tính khoảng cách, một kỹ năng quan trọng trong giải toán hình học.
Ta có: nên d // ∆
Alt text: Xác nhận tính song song của hai đường thẳng bằng cách so sánh tỉ lệ hệ số, đảm bảo áp dụng đúng phương pháp tính khoảng cách.
d(d;Δ) = d(A;d) =
Alt text: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng Delta, bước cuối cùng để tìm ra khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.
-
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng là √29/2.
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x – 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2.
Giải:
-
Gọi điểm: Gọi M(x; y) là điểm cách ∆ một khoảng bằng 2.
-
Lập phương trình: d(M, ∆) = 2 ⇔ |3x – 4y + 2| / √(3² + (-4)²) = 2
|3x – 4y + 2| = 10 ⇒
Alt text: Giải phương trình trị tuyệt đối để xác định hai trường hợp đường thẳng song song, giúp tìm tập hợp điểm thỏa mãn yêu cầu bài toán.
-
Kết luận: Tập hợp các điểm cần tìm là hai đường thẳng: 3x – 4y + 12 = 0 và 3x – 4y – 8 = 0.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y – 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song. Tìm đường thẳng d song song và cách đều d1, d2.
Giải:
-
Gọi phương trình: Gọi phương trình đường thẳng d là 5x + 3y + c = 0.
-
Lập phương trình khoảng cách: d(d, d1) = d(d, d2)
d(M(x; y); d1)=d(M(x; y); d2) ⇔
Alt text: Thiết lập điều kiện khoảng cách từ một điểm trên đường thẳng d đến d1 và d2 bằng nhau, cơ sở để tìm ra phương trình đường thẳng d.
⇔
Alt text: Giải phương trình để tìm giá trị của c, từ đó xác định phương trình đường thẳng d nằm giữa và song song với d1 và d2.
-
Giải phương trình: Giải phương trình trên, ta được c = -2.
-
Kết luận: Vậy đường thẳng d cần tìm là 5x + 3y + 2 = 0.
Bài Tập Vận Dụng Tính Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Song Song
Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y – 4 = 0 và ∆: x + 1 + y – 1 = 0. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?
Câu 2: Cho đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0. Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là?
Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là?
Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng (a): 7x + y – 3 = 0 và (b): 7x + y + 12 = 0 là?
Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x – 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là?
Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x – 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13.
Câu 7: Cho tam giác ABC có B( – 2; 1) và C( 2; 0). Điểm A thuộc đường thẳng d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.
Phương trình đường thẳng BC:
Alt text: Thiết lập phương trình đường thẳng BC đi qua hai điểm B và C, một bước quan trọng để tính diện tích tam giác ABC khi biết một đỉnh nằm trên đường thẳng song song với BC.
Kết luận
Nắm vững phương pháp và luyện tập các bài tập về khoảng cách giữa hai đường thẳng song song sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán hình học giải tích một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này cung cấp cho bạn kiến thức hữu ích và giúp bạn tự tin hơn trong học tập.