Trong hình học không gian Oxyz, việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là một bài toán quan trọng và thường gặp. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết các phương pháp giải toán, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải quyết dạng bài này.
1. Phương Pháp Xác Định Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 có phương trình tham số:
d1: $$begin{cases} x = x_1 + a_1t y = y_1 + b_1t z = z_1 + c_1t end{cases}$$
d2: $$begin{cases} x = x_2 + a_2t’ y = y_2 + b_2t’ z = z_2 + c_2t’ end{cases}$$
trong đó t, t’ ∈ R.
Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2, ta có thể áp dụng một trong hai cách sau:
Cách 1: Sử dụng tích có hướng và tích hỗn tạp
- Bước 1: Xác định các vectơ chỉ phương $overrightarrow{a_1}$ của d1 và $overrightarrow{a_2}$ của d2.
- Bước 2: Xác định điểm M1 thuộc d1 và điểm M2 thuộc d2.
- Bước 3: Tính khoảng cách d(d1, d2) theo công thức:
d(d1, d2) = $$frac{|[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}] . overrightarrow{M_1M_2}|}{|[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}]|}$$
Trong đó:
- $[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}]$ là tích có hướng của hai vectơ $overrightarrow{a_1}$ và $overrightarrow{a_2}$.
- $[overrightarrow{a_1}, overrightarrow{a_2}] . overrightarrow{M_1M_2}$ là tích hỗn tạp của ba vectơ $overrightarrow{a_1}$, $overrightarrow{a_2}$ và $overrightarrow{M_1M_2}$.
Cách 2: Tìm đoạn vuông góc chung
Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng đoạn vuông góc chung
- Bước 1: Gọi H là giao điểm của đường vuông góc chung với d1 và K là giao điểm của đường vuông góc chung với d2. Tọa độ của H và K sẽ phụ thuộc vào các tham số t và t’.
- Bước 2: Xác định H và K dựa trên điều kiện đoạn HK vuông góc với cả d1 và d2:
$$begin{cases} overrightarrow{HK} . overrightarrow{a_1} = 0 overrightarrow{HK} . overrightarrow{a_2} = 0 end{cases}$$
- Bước 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng là độ dài đoạn vuông góc chung: d(d1, d2) = HK.
Lưu ý: Cách 2 thường được sử dụng khi đề bài yêu cầu viết phương trình đường vuông góc chung.
2. Các Bài Tập Minh Họa Khoảng Cách Giữa Hai Đường Thẳng Chéo Nhau
Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng:
$$Delta_1: frac{x-2}{-1} = frac{y-1}{2} = frac{z-2}{-1}$$
$$Delta_2: frac{x-1}{2} = frac{y}{-1} = frac{z-1}{-1}$$
A. d = √3 B. d = (3√3)/2 C. d = 2√3 D. d = 3√3
Lời giải:
-
Kiểm tra: Hai đường thẳng chéo nhau.
-
Cách 1 (Đoạn vuông góc chung):
- $overrightarrow{u_1} = (-1; 2; -1)$ (VTCP của Δ₁)
- $overrightarrow{u_2} = (2; -1; -1)$ (VTCP của Δ₂)
- Δ₁: $$begin{cases} x = 2 – t y = 1 + 2t z = 2 – t end{cases}$$
- Δ₂: $$begin{cases} x = 1 + 2k y = -k z = 1 – k end{cases}$$
- Gọi H(2-t; 1+2t; 2-t) ∈ Δ₁, K(1+2k; -k; 1-k) ∈ Δ₂.
- HK là đoạn vuông góc chung ⇔ $$begin{cases} overrightarrow{HK} . overrightarrow{u_1} = 0 overrightarrow{HK} . overrightarrow{u_2} = 0 end{cases}$$ ⇔ $$begin{cases} t = 0 k = 0 end{cases}$$
- => H(2; 1; 2), K(1; 0; 1) => $overrightarrow{HK} = (-1; -1; -1)$ => d(Δ₁, Δ₂) = HK = √3.
-
Cách 2 (Sử dụng công thức):
- $overrightarrow{u_1} = (-1; 2; -1)$ (VTCP của Δ₁)
- $overrightarrow{u_2} = (2; -1; -1)$ (VTCP của Δ₂)
- A(2; 1; 2) ∈ Δ₁, B(1; 0; 1) ∈ Δ₂ => $overrightarrow{AB} = (-1; -1; -1)$.
- d = $$frac{|overrightarrow{AB} . [overrightarrow{u_1}, overrightarrow{u_2}]|}{|[overrightarrow{u_1}, overrightarrow{u_2}]|}$$ = √3.
Đáp án: A
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $$Delta_1: frac{x-2}{-1} = frac{y-1}{2} = frac{z-2}{-1}$$ và $$Delta_2: frac{x-1}{2} = frac{y}{-1} = frac{z-1}{-1}$$. Gọi M, N lần lượt là các điểm bất kì thuộc Δ₁ và Δ₂. Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.
A. 2√3 B. √3 C. 4√3 D. (3√3)/2
Lời giải:
Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN chính là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ₁ và Δ₂. Áp dụng kết quả Ví dụ 1, ta có $$MN_{min} = sqrt{3}$$.
Đáp án: B
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${Delta _1}:frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, ${Delta _2}:frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{{ – 1}} = frac{{z – 1}}{{ – 1}}.$
A. ${left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z – frac{3}{2}} right)^2} = 3.$
B. ${left( {x + frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y + frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z + frac{3}{2}} right)^2} = frac{3}{4}.$
C. ${left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z – frac{3}{2}} right)^2} = frac{3}{4}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = frac{3}{4}.$
Lời giải:
Gọi $HK$ là đoạn vuông góc chung của ${Delta _1}$ và ${Delta _2}$ ⇒ mặt cầu cần tìm là mặt cầu có đường kính $HK.$
Đường thẳng ${Delta _1}$ có một vectơ chỉ phương là ${vec u_1} = ( – 1;2; – 1).$
Đường thẳng ${Delta _2}$ có một vectơ chỉ phương là ${vec u_2} = (2; – 1; – 1).$
Ta có ${Delta _1}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 2 – t}\ {y = 1 + 2t}\ {z = 2 – t} end{array}} right.$ và ${Delta _2}:left{ {begin{array}{*{20}{l}} {x = 1 + 2k}\ {y = – k}\ {z = 1 – k} end{array}} right..$
Gọi $H(2 – t;1 + 2t;2 – t) in {Delta _1}$, $K(1 + 2k; – k;1 – k) in {Delta _2}.$
$HK$ là đoạn vuông góc chung của ${Delta _1}$ và ${Delta _2}$ $ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {overrightarrow {HK} .{{vec u}_1} = 0}\ {overrightarrow {HK} .{{vec u}_2} = 0} end{array}} right..$
$ Leftrightarrow left{ {begin{array}{*{20}{l}} {t = 0}\ {k = 0} end{array}} right.$ $ Rightarrow H(2;1;2)$, $K(1;0;1)$ $ Rightarrow overrightarrow {HK} = ( – 1; – 1; – 1)$ $ Rightarrow HK = sqrt 3 .$
Mặt cầu cần tìm có tâm $Ileft( {frac{3}{2};frac{1}{2};frac{3}{2}} right)$ là trung điểm $HK$, bán kính $R = frac{{HK}}{2} = frac{{sqrt 3 }}{2}$ có phương trình: $(S):{left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {left( {z – frac{3}{2}} right)^2} = frac{3}{4}.$
Chọn đáp án C.
3. Bài Tập Tự Luyện
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ${Delta _1}:frac{{x – 2}}{{ – 1}} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z – 2}}{{ – 1}}$, $Delta_{2}: frac{x-1}{2}=frac{y}{-1}=frac{z-1}{-1}.$
A. $frac{{x – 1}}{1} = frac{{y – 1}}{2} = frac{{z – 1}}{1}.$
B. $frac{{x – 1}}{1} = frac{y}{2} = frac{{z – 1}}{1}.$
C. $frac{{x + 1}}{1} = frac{y}{1} = frac{{z + 1}}{1}.$
D. $frac{{x – 1}}{1} = frac{y}{1} = frac{{z – 1}}{1}.$
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng ${Delta _1}:frac{{x – 1}}{{ – 1}} = frac{y}{1} = frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${Delta _2}:frac{{x – 2}}{4} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}.$
A. $d = sqrt 6 .$
B. $d = frac{{3sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = 2sqrt 3 .$
D. $d = 3sqrt 3 .$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc ${Delta _1}:frac{{x – 1}}{{ – 1}} = frac{y}{1} = frac{{z – 1}}{{ – 1}}$ và ${Delta _2}:frac{{x – 2}}{4} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2sqrt 3 .$
B. $sqrt 6 .$
C. ${4sqrt 3 .}$
D. ${frac{{3sqrt 3 }}{2}.}$
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng ${Delta _1}:frac{{x – 1}}{{ – 1}} = frac{y}{1} = frac{{z – 1}}{{ – 1}}$, ${Delta _2}:frac{{x – 2}}{4} = frac{{y + 1}}{2} = frac{{z + 1}}{1}.$
A. ${left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y + frac{1}{2}} right)^2} + {z^2} = frac{3}{4}.$
B. ${left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y – frac{1}{2}} right)^2} + {z^2} = frac{3}{2}.$
C. ${left( {x – frac{3}{2}} right)^2} + {left( {y + frac{1}{2}} right)^2} + {z^2} = frac{3}{2}.$
D. ${(x – 1)^2} + {(y – 2)^2} + {(z + 1)^2} = frac{3}{4}.$
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :frac{{x – 1}}{2} = frac{y}{1} = frac{{z + 4}}{{ – 1}}$ và trục $Oy.$ Tính độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $2sqrt 3 .$
B. $frac{{7sqrt 5 }}{5}.$
C. $4sqrt 3 .$
D. $frac{{2sqrt 5 }}{5}.$
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa hai đường thẳng $Delta :frac{{x + 1}}{1} = frac{y}{{ – 2}} = frac{{z + 2}}{2}$ và trục $Oz.$
A. $d = frac{{3sqrt 5 }}{5}.$
B. $d = frac{{3sqrt 3 }}{2}.$
C. $d = frac{{7sqrt 5 }}{5}.$
D. $d = frac{{2sqrt 5 }}{5}.$
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho tứ diện $ABCD$ với $A(1;1;2)$, $B(-3;3;4)$, $C(0;2;2)$, $D(0;1;-1).$ Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $BD.$
A. $d = frac{{2sqrt {11} }}{{11}}.$
B. $d = frac{{sqrt {51} }}{{51}}.$
C. $d = frac{{8sqrt {51} }}{{51}}.$
D. $d = frac{{2sqrt {15} }}{{11}}.$
Câu 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=1$, $AD=2$, $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2.$ Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SD$, $BC$, tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $CM$ và $AN.$
A. $d = frac{{2sqrt 6 }}{3}.$
B. $d = frac{{sqrt 6 }}{3}.$
C. $d = frac{{sqrt 6 }}{6}.$
D. $d = frac{{sqrt 2 }}{2}.$
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ giữa đường thẳng $Delta :frac{{x + 1}}{{ – 1}} = frac{{y + 2}}{{ – 1}} = frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$
A. $d = sqrt 3 .$
B. $d = frac{1}{3}.$
C. $d = frac{{sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = frac{2}{3}.$
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $M$, $N$ là các điểm bất kì lần lượt thuộc $Delta :frac{{x + 1}}{{ – 1}} = frac{{y + 2}}{{ – 1}} = frac{{z + 1}}{1}$ và mặt phẳng $(P):x + y + 2z + 3 = 0.$ Tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $MN.$
A. $d = sqrt 3 .$
B. $d = frac{1}{3}.$
C. $d = frac{{sqrt 6 }}{3}.$
D. $d = frac{2}{3}.$
Bảng Đáp Án
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | D | A | B | C | B |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | C | C | D | C | C |
Hy vọng bài viết này sẽ giúp bạn nắm vững phương pháp và tự tin giải các bài toán về khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian Oxyz.
