Khoảng cách giữa hai điểm cực trị là một dạng toán thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số và ứng dụng đạo hàm. Nắm vững phương pháp giải quyết dạng toán này giúp học sinh tự tin hơn khi đối diện với các kỳ thi quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào phương pháp tìm khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, kèm theo ví dụ minh họa và các lưu ý quan trọng.
Xét bài toán cụ thể: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1.
Bước 1: Tìm tọa độ các điểm cực trị
Để tìm tọa độ các điểm cực trị, ta cần thực hiện các bước sau:
-
Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số:
y’ = (-x³ + 3x + 1)’ = -3x² + 3
-
Giải phương trình y’ = 0 để tìm các điểm tới hạn (điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định):
-3x² + 3 = 0 <=> x² = 1 <=> x = 1 hoặc x = -1
-
Tính giá trị của hàm số tại các điểm tới hạn để tìm tọa độ y tương ứng:
- Khi x = 1: y = -(1)³ + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3. Vậy điểm cực trị là A(1; 3).
- Khi x = -1: y = -(-1)³ + 3(-1) + 1 = 1 – 3 + 1 = -1. Vậy điểm cực trị là B(-1; -1).
Bước 2: Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị
Sau khi đã xác định được tọa độ hai điểm cực trị A(1; 3) và B(-1; -1), ta sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ:
AB = √[(x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²]
Trong đó:
- x₁ = 1, y₁ = 3 (tọa độ điểm A)
- x₂ = -1, y₂ = -1 (tọa độ điểm B)
Thay số vào công thức:
AB = √[(-1 – 1)² + (-1 – 3)²] = √[(-2)² + (-4)²] = √(4 + 16) = √20 = 2√5
Vậy, khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = -x³ + 3x + 1 là 2√5.
Đồ thị hàm số bậc 3 minh họa hai điểm cực trị A và B, giúp hình dung trực quan về bài toán khoảng cách giữa hai điểm cực trị.
Lưu ý quan trọng khi giải bài toán khoảng cách giữa hai điểm cực trị:
- Tính chính xác đạo hàm: Sai sót trong quá trình tính đạo hàm sẽ dẫn đến việc xác định sai các điểm cực trị.
- Kiểm tra lại tọa độ: Sau khi tìm được các điểm tới hạn, cần kiểm tra lại bằng cách xét dấu đạo hàm hoặc sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định xem đó có thực sự là điểm cực trị hay không (cực đại hay cực tiểu).
- Công thức khoảng cách: Nhớ chính xác công thức tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng tọa độ.
- Hàm số bậc cao: Với các hàm số bậc cao hơn, việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm có thể phức tạp hơn, đòi hỏi sử dụng các kỹ năng giải phương trình nâng cao hoặc sử dụng máy tính hỗ trợ.
Mở rộng và nâng cao:
Ngoài cách giải trực tiếp như trên, trong một số trường hợp, ta có thể sử dụng các tính chất đặc biệt của hàm số để giải nhanh hơn. Ví dụ, với hàm số bậc ba, đường thẳng nối hai điểm cực trị luôn vuông góc với trục đối xứng của đồ thị.
Bài toán khoảng cách giữa hai điểm cực trị không chỉ rèn luyện kỹ năng tính toán đạo hàm, giải phương trình mà còn giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Việc luyện tập thường xuyên và nắm vững các phương pháp giải sẽ giúp các em tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.
