1. Công thức Khai Triển Nhị Thức Newton
Công thức nhị thức Newton cho phép khai triển biểu thức (a + b)^n một cách hệ thống, với a và b là các số thực, và n là một số nguyên dương. Công thức được biểu diễn như sau:
(a+b)^n = ∑_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1} b + … + C_n^k a^{n-k} b^k + … + C_n^n b^n
Trong đó:
- C_n^k là tổ hợp chập k của n, còn được viết là nCk, biểu thị số cách chọn k phần tử từ một tập hợp n phần tử.
- a^0 = b^0 = 1 (quy ước).
Công thức này có nhiều ứng dụng trong toán học, đặc biệt là trong các bài toán về tổ hợp và xác suất.
Tính chất quan trọng của khai triển nhị thức Newton:
a) Số lượng hạng tử: Khai triển (a + b)^n sẽ có (n + 1) hạng tử.
b) Số mũ: Số mũ của ‘a’ giảm dần từ n về 0, trong khi số mũ của ‘b’ tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của ‘a’ và ‘b’ trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
c) Tính đối xứng của hệ số: Các hệ số của các hạng tử cách đều hạng tử đầu và hạng tử cuối thì bằng nhau (C_n^k = C_n^{n-k}).
d) Số hạng tổng quát: Số hạng thứ (k+1) trong khai triển (hay còn gọi là số hạng tổng quát) được cho bởi công thức: T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k.
Hệ quả quan trọng:
- Nếu a = b = 1, ta có: 2^n = C_n^0 + C_n^1 + … + C_n^n (Tổng các hệ số nhị thức bằng 2^n).
- Nếu a = 1 và b = -1, ta có: 0 = C_n^0 – C_n^1 + … + (-1)^k C_n^k + … + (-1)^n C_n^n.
Các dạng khai triển nhị thức Newton thường gặp:
2. Ví dụ minh họa khai triển nhị thức Newton
Ví dụ 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (1 + x)^4
b) (x – 1)^5
c) (2x + y)^4
d) (x – 3y)^5
Lời giải:
a) (1 + x)^4 = C_4^0 1^4 + C_4^1 1^3 x + C_4^2 1^2 x^2 + C_4^3 1 x^3 + C_4^4 x^4 = 1 + 4x + 6x^2 + 4x^3 + x^4
b) (x – 1)^5 = C_5^0 x^5 + C_5^1 x^4 (-1) + C_5^2 x^3 (-1)^2 + C_5^3 x^2 (-1)^3 + C_5^4 x (-1)^4 + C_5^5 (-1)^5 = x^5 – 5x^4 + 10x^3 – 10x^2 + 5x – 1
c) (2x + y)^4 = C_4^0 (2x)^4 + C_4^1 (2x)^3 y + C_4^2 (2x)^2 y^2 + C_4^3 (2x) y^3 + C_4^4 y^4 = 16x^4 + 32x^3y + 24x^2y^2 + 8xy^3 + y^4
d) (x – 3y)^5 = x^5 – 5x^4(3y) + 10x^3(3y)^2 – 10x^2(3y)^3 + 5x(3y)^4 – (3y)^5 = x^5 – 15x^4y + 90x^3y^2 – 270x^2y^3 + 405xy^4 – 243y^5
Ví dụ 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x^2 + 1/x)^4
b) (x – 1/x)^5
Lời giải:
a) (x^2 + 1/x)^4 = C_4^0(x^2)^4 + C_4^1(x^2)^3(1/x)^1 + C_4^2(x^2)^2(1/x)^2 + C_4^3(x^2)^1(1/x)^3 + C_4^4(1/x)^4
= x^8 + 4x^5 + 6x^2 + 4/x + 1/x^4
b) (x – 1/x)^5 = C_5^0x^5 + C_5^1x^4(-1/x) + C_5^2x^3(-1/x)^2 + C_5^3x^2(-1/x)^3 + C_5^4x(-1/x)^4 + C_5^5(-1/x)^5
= x^5 – 5x^3 + 10x – 10/x + 5/x^3 – 1/x^5
Ví dụ 3:
a) Tìm số hạng chứa x^3 trong khai triển (2x – 1)^4.
b) Tìm số hạng chứa 1/x^2 trong khai triển (2x – 1/x^2)^4, với x ≠ 0.
Lời giải:
a) Số hạng tổng quát trong khai triển (2x – 1)^4 là: T_{k+1} = C_4^k (2x)^{4-k} (-1)^k = (-1)^k C_4^k 2^{4-k} x^{4-k}.
Để tìm số hạng chứa x^3, ta cần tìm k sao cho 4 – k = 3, suy ra k = 1.
Vậy số hạng chứa x^3 là: (-1)^1 C_4^1 2^{4-1} * x^3 = -32x^3.
b) Số hạng tổng quát trong khai triển (2x – 1/x^2)^4 là: T_{k+1} = C_4^k (2x)^{4-k} (-1/x^2)^k = (-1)^k C_4^k 2^{4-k} x^{4-3k}.
Để tìm số hạng chứa 1/x^2 = x^{-2}, ta cần tìm k sao cho 4 – 3k = -2, suy ra k = 2.
Vậy số hạng chứa 1/x^2 là: (-1)^2 C_4^2 2^{4-2} * x^{-2} = 24/x^2.
Ví dụ 4:
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x^4 trong khai triển (2 + 3x)^5.
b) Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x – 2)^4.
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x^3 trong khai triển (x^3 + 1/x)^5 (với x ≠ 0).
d) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x^2 + 4/x)^4 với x ≠ 0.
Lời giải:
a) Số hạng tổng quát trong khai triển (2 + 3x)^5 là: T_{k+1} = C_5^k 2^{5-k} (3x)^k = C_5^k 2^{5-k} 3^k x^k.
Ta cần tìm k sao cho k = 4. Vậy hệ số của số hạng chứa x^4 là: C_5^4 2^{5-4} * 3^4 = 810.
b) Số hạng tổng quát trong khai triển (3x – 2)^4 là: T_{k+1} = C_4^k (3x)^{4-k} (-2)^k = C_4^k 3^{4-k} (-2)^k x^{4-k}.
Ta cần tìm k sao cho 4 – k = 1, suy ra k = 3. Vậy số hạng chứa x là: C_4^3 3^{4-3} (-2)^3 x = -96x.
c) Số hạng tổng quát trong khai triển (x^3 + 1/x)^5 là: T_{k+1} = C_5^k (x^3)^{5-k} (1/x)^k = C_5^k * x^{15-4k}.
Ta cần tìm k sao cho 15 – 4k = 3, suy ra k = 3. Vậy hệ số của số hạng chứa x^3 là: C_5^3 = 10.
d) Số hạng tổng quát trong khai triển (x^2 + 4/x)^4 là: T_{k+1} = C_4^k (x^2)^{4-k} (4/x)^k = C_4^k 4^k x^{8-3k}.
Ta cần tìm k sao cho 8 – 3k = 0, suy ra k = 8/3. Vì k phải là số nguyên, nên không có số hạng nào không chứa x trong khai triển này. Vậy hệ số của số hạng không chứa x là 0.
Ví dụ 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển (1 – 2x)^5.
Lời giải:
Đặt (1 – 2x)^5 = a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_5x^5.
Tổng các hệ số là a_0 + a_1 + a_2 + … + a_5.
Để tính tổng này, ta thay x = 1 vào khai triển:
(1 – 2*1)^5 = a_0 + a_1 + a_2 + … + a_5
(-1)^5 = a_0 + a_1 + a_2 + … + a_5
Vậy tổng các hệ số là -1.
Ví dụ 6: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C_n^1 + C_n^2 = 15. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x + 2/x^4)^n.
Lời giải:
Từ C_n^1 + C_n^2 = 15, ta có n + n(n-1)/2 = 15.
Suy ra n^2 + n – 30 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta được n = 5 hoặc n = -6. Vì n là số nguyên dương nên n = 5.
Số hạng tổng quát trong khai triển (x + 2/x^4)^5 là: T_{k+1} = C_5^k x^{5-k} (2/x^4)^k = C_5^k 2^k x^{5-5k}.
Để tìm số hạng không chứa x, ta cần tìm k sao cho 5 – 5k = 0, suy ra k = 1.
Vậy số hạng không chứa x là: C_5^1 * 2^1 = 10.
Ví dụ 7: Tìm các số nguyên a, b biết (√4-√3)^5-(√4+√3)^5=a+b√3.
Từ khai triển trên, ta có a = 0 và b = -3538. Vậy (√4-√3)^5-(√4+√3)^5 = -3538√3.
Ví dụ 8: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 0.03)^5 để tính giá trị gần đúng của 1.03^5.
Lời giải:
(1 + 0.03)^5 = C_5^0 1^5 + C_5^1 1^4 (0.03) + … = 1 + 5 0.03 + … = 1 + 0.15 + …
Vậy 1.03^5 ≈ 1 + 0.15 = 1.15.
3. Bài tập tự luyện về khai triển nhị thức Newton
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x – 3)^4
b) (x + 2y)^4
c) (1/x + x^3)^4
d) (xy + 2)^5
Bài 2: Khai triển các nhị thức sau:
a) (3a + 5b)^4
b) (-2x^2 + y)^5
c) (4x – 7y^2)^3
d) (x^3 + 2y^2)^3
e) (2x + 3y)^4
f) (x^2 – 3/(2x))^5
Bài 3: Tìm hệ số của x^4 trong khai triển của (3x – 1)^5.
Bài 4: Biểu diễn (√3+√2)^5-(√3-√2)^5 dưới dạng a+b√2 với a, b là các số nguyên.
Bài 5: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 – 0.02)^4 để tính giá trị gần đúng của 0.98^4.
Bài 6: Cho a, b là các số nguyên khác 0. Tìm các số hạng là các số nguyên trong khai triển của (a√2 – b√3)^5.
Bài 7:
a) Tìm hệ số chứa x^3 trong khai triển nhị thức (2x^3 + 1/x)^5 với x ≠ 0.
b) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức (2x^(3/2) + x)^4 với x ≠ 0.
c) Tìm số hạng chứa x^12 trong khai triển nhị thức (-x^2 + 7x^3)^5.
Chúc các bạn học tốt về khai triển nhị thức Newton và ứng dụng thành công vào giải các bài toán!
