1. Công thức Khai Triển Nhị Thức Newton
Công thức nhị thức Newton là một công cụ mạnh mẽ để khai triển các biểu thức dạng (a + b)n, với n là một số nguyên dương. Công thức này có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực liên quan.
(a+b)n=∑k=0nCnkan-kbk=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn
Trong đó:
- a, b là các số thực hoặc biểu thức đại số.
- n là số nguyên dương.
- Cnk là tổ hợp chập k của n, được tính theo công thức: Cnk = n! / (k! * (n-k)!)
Alt: Công thức khai triển nhị thức Newton tổng quát: (a+b)^n = tổng của C(n, k) a^(n-k) b^k, k chạy từ 0 đến n, minh họa biểu thức toán học.
Các tính chất quan trọng của khai triển nhị thức Newton:
- Số các hạng tử trong khai triển là n + 1.
- Số mũ của a giảm dần từ n đến 0, trong khi số mũ của b tăng dần từ 0 đến n. Tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.
- Các hệ số của các hạng tử cách đều hai đầu bằng nhau (Cnk = Cnn-k).
- Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) của khai triển là: Tk+1 = Cnkan-kbk.
Hệ quả quan trọng:
- Với a = b = 1, ta có: 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn. (Tổng các hệ số nhị thức bằng 2 mũ n).
- Với a = 1, b = -1, ta có: 0=Cn0-Cn1+…+(-1)kCnk+…+(-1)nCnn.
Các dạng khai triển nhị thức Newton thường gặp:
Alt: Bảng tổng hợp các công thức khai triển nhị thức Newton cho các trường hợp n = 2, 3, 4: (a+b)^2, (a+b)^3, (a+b)^4, minh họa các biểu thức đại số.
2. Ví dụ minh họa khai triển nhị thức Newton
Ví dụ 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (1 + x)4
b) (x – 1)5
c) (2x + y)4
d) (x – 3y)5
Hướng dẫn giải:
a) (1 + x)4 = C4014 + C4113x + C4212x2 + C431x3 + C44x4 = 1 + 4x + 6x2 + 4x3 + x4
b) (x – 1)5 = x5 – 5x4 + 10x3 – 10x2 + 5x – 1
c) (2x + y)4 = C40(2x)4 + C41(2x)3y + C42(2x)2y2 + C43(2x)y3 + C44y4 = 16x4 + 32x3y + 24x2y2 + 8xy3 + y4
d) (x – 3y)5 = x5 – 5x4(3y) + 10x3(3y)2 – 10x2(3y)3 + 5x(3y)4 – (3y)5 = x5 – 15x4y + 90x3y2 – 270x2y3 + 405xy4 – 243y5
Ví dụ 2: Khai triển các biểu thức sau:
a) (x2+1/x)4
b) (x-1/x)5
Hướng dẫn giải: (Dành cho bạn đọc tự giải để luyện tập)
Ví dụ 3:
a) Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (2x – 1)4
b) Tìm số hạng chứa 1/x2 trong khai triển (2x-1/x2)4, x ≠ 0.
Hướng dẫn giải:
a) Số hạng tổng quát trong khai triển (2x – 1)4 là:
Tk+1 = C4k(2x)4-k(-1)k = (-1)kC4k24-kx4-k
Để có x3, ta cần 4 – k = 3 => k = 1.
Vậy số hạng chứa x3 là: (-1)1C4123x3 = -32x3.
b) Số hạng tổng quát trong khai triển (2x-1/x2)4 là:
Tk+1 = C4k(2x)4-k(-1/x2)k = (-1)kC4k24-kx4-3k
Để có 1/x2 = x-2, ta cần 4 – 3k = -2 => k = 2.
Vậy số hạng chứa 1/x2 là: (-1)2C4222x-2 = 24/x2.
Ví dụ 4:
a) Tìm hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển (2 + 3x)5;
b) Tìm số hạng chứa x trong khai triển (3x – 2)4;
c) Tìm hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x3+1/x)5 (với x ≠ 0);
d) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển (x2+4/x)4 với x ≠ 0.
Hướng dẫn giải: (Dành cho bạn đọc tự giải để luyện tập)
Ví dụ 7: Tìm các số nguyên a, b biết (√4-√3)5-(√4+√3)5=a+b√3.
Alt: Các bước biến đổi biểu thức (căn bậc hai của 4 trừ căn bậc hai của 3)^5 trừ (căn bậc hai của 4 cộng căn bậc hai của 3)^5, dẫn đến kết quả a + bcăn(3), với a = 0 và b = -3538.*
3. Bài tập tự luyện về khai triển nhị thức Newton
Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:
a) (2x – 3)4;
b) (x + 2y)4;
c) (1/x+x3)4;
d) Tìm x,y biết xy=417 và 5x – y = –51;
e) (xy + 2)5.
Bài 2: Khai triển các nhị thức sau:
a) (3a + 5b)4;
b) (-2x2 + y)5;
c) (4x-7y2)3;
d) (x3+2y2)3;
e) (2x+3y)4;
f) (x2-3/(2x))5.
Bài 3: Tìm hệ số của x4 trong khai triển của (3x – 1)5.
Bài 4: Biểu diễn (√3+√2)5-(√3-√2)5 dưới dạng a+b√2 với a, b là các số nguyên.
Bài 6: Cho a, b là các số nguyên khác 0. Tìm các số hạng là các số nguyên trong khai triển của (a√2-b√3)5.
Bài 7:
a) Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển nhị thức (2x3+1/x)5 với x ≠ 0;
b) Tìm hệ số không chứa x trong khai triển nhị thức (2/3x3+x)4 với x ≠ 0;
c) Tìm số hạng chứa x12 trong khai triển nhị thức (-x2+7x3)5.
Khai triển nhị thức Newton là một chủ đề quan trọng trong chương trình toán học phổ thông. Việc nắm vững công thức và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh giải quyết nhiều bài toán phức tạp và phát triển tư duy logic. Chúc các bạn học tốt!
