Khai Triển Hằng Đẳng Thức Đáng Nhớ: Bí Quyết Chinh Phục Toán Lớp 8

Các hằng đẳng thức đáng nhớ là nền tảng quan trọng trong chương trình Toán lớp 8, giúp học sinh giải quyết các bài toán đại số một cách nhanh chóng và hiệu quả. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục mọi bài toán liên quan đến Khai Triển Hằng đẳng Thức.

A. Bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và hiệu hai bình phương

I. Lý thuyết:

1. Bình phương của một tổng:

   (A + B)² = A² + 2AB + B²

2. Bình phương của một hiệu:

   (A – B)² = A² – 2AB + B²

3. Hiệu hai bình phương:

   A² – B² = (A – B)(A + B)

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải:

1. Dạng 1: Thực hiện phép tính khai triển trực tiếp

   • Phương pháp: Áp dụng trực tiếp các hằng đẳng thức để khai triển hằng đẳng thức và rút gọn biểu thức.

   • Ví dụ:

     a) (x – 2)² = x² – 2.x.2 + 2² = x² – 4x + 4

     b) (2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1

     c) (3x – 1)(3x + 1) = (3x)² – 1² = 9x² – 1

     d) Viết biểu thức 4x² + 4x + 1 dưới dạng bình phương của một tổng: 4x² + 4x + 1 = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = (2x + 1)²

     e) Viết biểu thức x² – 8x + 16 dưới dạng bình phương của một hiệu: x² – 8x + 16 = x² – 2.x.4 + 4² = (x – 4)²

     Alt text: Minh họa cách khai triển hằng đẳng thức (a + b)^2 và (a – b)^2, chú trọng biểu diễn trực quan các thành phần.

2. Dạng 2: Chứng minh đẳng thức

   • Phương pháp: Biến đổi một vế (thường là vế phức tạp hơn) thành vế còn lại bằng cách sử dụng các hằng đẳng thức một cách linh hoạt.

   • Ví dụ: Chứng minh x² + y² = (x + y)² – 2xy

     Xét VP = (x + y)² – 2xy = x² + 2xy + y² – 2xy = x² + y² = VT (điều phải chứng minh)

     Chứng minh (a – b)² = (a + b)² – 4ab

     Xét VP = (a + b)² – 4ab = a² + 2ab + b² – 4ab = a² – 2ab + b² = (a – b)² = VT (điều phải chứng minh)

     Chứng minh 4x² + 1 = (2x – 1)² + 4x

     Xét VP = (2x – 1)² + 4x = (2x)² – 2.2x.1 + 1² + 4x = 4x² – 4x + 1 + 4x = 4x² + 1 = VT (điều phải chứng minh)

3. Dạng 3: Tính nhanh

   • Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức một cách khéo léo để tính giá trị biểu thức mà không cần thực hiện phép nhân trực tiếp.

   • Ví dụ:

     a) 22² = (20 + 2)² = 20² + 2.20.2 + 2² = 400 + 80 + 4 = 484

     b) 99² = (100 – 1)² = 100² – 2.100.1 + 1² = 10000 – 200 + 1 = 9801

     c) 19.21 = (20 – 1)(20 + 1) = 20² – 1² = 400 – 1 = 399

4. Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   • Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi biểu thức về dạng có chứa bình phương, kết hợp với nhận xét A² ≥ 0 và -A² ≤ 0.

   • Ví dụ:

     a) Chứng minh 9x² – 6x + 3 luôn dương với mọi x

     9x² - 6x + 3 = 9x² - 6x + 1 + 2 = (3x - 1)² + 2
     
     Vì (3x - 1)² ≥ 0 với mọi x nên (3x - 1)² + 2 ≥ 2 > 0 với mọi x. Vậy 9x² - 6x + 3 luôn dương.

     b) Chứng minh -x² – 4x – 7 luôn âm với mọi x

     -x² - 4x - 7 = -(x² + 4x + 4) - 3 = -(x + 2)² - 3
     
     Vì (x + 2)² ≥ 0 với mọi x nên -(x + 2)² ≤ 0 với mọi x, suy ra -(x + 2)² - 3 ≤ -3 < 0 với mọi x. Vậy -x² - 4x - 7 luôn âm.

     c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x² – 3x + 5

     M = x² - 3x + 5 = x² - 2.x.(3/2) + (3/2)² + 5 - (3/2)² = (x - 3/2)² + 11/4
     
     Vì (x - 3/2)² ≥ 0 với mọi x nên M ≥ 11/4.  Giá trị nhỏ nhất của M là 11/4 khi x = 3/2.
     
     *Alt text: Hình ảnh minh họa cách tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai bằng phương pháp hoàn thiện bình phương, làm nổi bật các bước biến đổi.*

B. Lập phương của một tổng hoặc một hiệu

I. Lý thuyết:

1. Lập phương của một tổng:

   (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

2. Lập phương của một hiệu:

   (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải:

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để khai triển và rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức:

   • Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức để khai triển hằng đẳng thức và rút gọn.

   • Ví dụ:

     a) (2x – 1)³ = (2x)³ – 3.(2x)².1 + 3.2x.1² – 1³ = 8x³ – 12x² + 6x – 1

     b) (x + 4)³ = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64

     c) Rút gọn A = (3x – 1)³ – 4x(x – 2) + (2x – 1)²

     A = (3x)³ - 3.(3x)².1 + 3.3x.1² - 1³ - 4x² + 8x + 4x² - 4x + 1 = 27x³ - 27x² + 9x – 1 + 4x + 1 = 27x³ - 27x² + 13x

     d) Rút gọn B = (x + 1)³ – 2x²(x – 2) + x³

     B = x³ + 3x² + 3x + 1 - 2x³ + 4x² + x³ = 7x² + 3x + 1
     
     *Alt text: Hình ảnh chi tiết về quá trình khai triển hằng đẳng thức (a + b)^3, với các bước được trình bày rõ ràng để dễ theo dõi.*

     e) Viết x³ + 12x² + 48x + 64 dưới dạng lập phương của một tổng: x³ + 12x² + 48x + 64 = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = (x + 4)³

     f) Tính A = x³ + 6x² + 12x + 8 tại x = 48

     A = x³ + 6x² + 12x + 8 = x³ + 3x².2 + 3.x.2² + 2³ = (x + 2)³
     
     Thay x = 48, ta có A = (48 + 2)³ = 50³ = 125000

     g) Tính B = x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 1001

     B = x³ - 3x² + 3x - 1 = x³ - 3x².1 + 3.x.1² - 1³ = (x – 1)³
     
     Thay x = 1001, ta có B = (1001 – 1)³ = 1000³ = 1000000000

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh:

   • Phương pháp: Sử dụng linh hoạt các hằng đẳng thức để tính nhanh.

   • Ví dụ:

     a) 199³ = (200 – 1)³ = 200³ – 3.200².1 + 3.200.1² – 1³ = 8000000 – 120000 + 600 – 1 = 7880599

     b) 101³ = (100 + 1)³ = 100³ + 3.100².1 + 3.100.1² + 1³ = 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301

C. Tổng hoặc hiệu hai lập phương:

I. Lý thuyết:

1. Tổng hai lập phương:

   A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

2. Hiệu hai lập phương:

   A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

II. Các dạng bài tập và phương pháp giải:

1. Dạng 1: Sử dụng hằng đẳng thức để rút gọn và khai triển biểu thức:

   • Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để khai triển hằng đẳng thức hoặc rút gọn biểu thức.

   • Ví dụ:

     a) x³ + 64 = x³ + 4³ = (x + 4)(x² – x.4 + 4²) = (x + 4)(x² – 4x + 16)

     b) 8x³ – 27 = (2x)³ – 3³ = (2x – 3)[(2x)² + 2x.3 + 3²] = (2x – 3)(4x² + 6x + 9)

     c) (x – 2)³ + (x + 1)³ = (x – 2 + x + 1)[(x – 2)² – (x – 2)(x + 1) + (x + 1)²] = (2x – 1)[x² – 4x + 4 – (x² – x – 2) + x² + 2x + 1] = (2x – 1)(x² – x + 7 ) = 2x³ – 2x² + 14x – x² + x – 7 = 2x³ – 3x² + 15x – 7

     d) (3x + 4)(9x² – 12x + 16) = (3x + 4)[(3x)² – 3x.4 + 4²] = (3x)³ + 4³ = 27x³ + 64

2. Dạng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để tính nhanh

   • Phương pháp: Sử dụng các hằng đẳng thức đã học để phân tích và tính.

   • Chú ý: A³ + B³ = (A + B)³ – 3AB(A + B) và A³ – B³ = (A – B)³ + 3AB(A – B)

   • Ví dụ:

     a) 20³ + 1 = (20 + 1)(20² – 20 + 1) = 21.(400 – 20 + 1) = 21.381 = 8001

     b) 52³ – 8 = 52³ – 2³ = (52 – 2)[52² + 52.2 + 2²] = 50(2704 + 104 + 4) = 50.2812 = 140600

     c) 18³ + 2³ = (18 + 2)(18² – 18.2 + 2²) = 20(324 – 36 + 4) = 20.292 = 5840

     Alt text: Trình bày rõ ràng các bước áp dụng hằng đẳng thức a^3 + b^3, giúp học sinh dễ dàng nắm bắt và áp dụng vào bài tập.

III. Bài tập tự luyện:

(Danh sách các bài tập tự luyện với đầy đủ đáp án để học sinh tự kiểm tra và củng cố kiến thức)

Lời kết:

Nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết các bài toán đại số một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về khai triển hằng đẳng thức, giúp bạn tự tin hơn trong học tập. Chúc bạn thành công!