Trong toán học cao cấp, chúng ta thường nhận thấy rằng một số thứ rất dễ nói nhưng khó diễn đạt một cách chính xác lại có một tính chất rất dễ diễn đạt một cách chính xác nhưng có lẽ chúng ta sẽ không nghĩ đến ngay từ đầu.
Các hàm lượng giác là một trong những thứ đó. Với rất nhiều nỗ lực, bạn có thể chứng minh rằng:
$$sin x = x – frac{x^3}{6} + frac{x^5}{120} – frac{x^7}{5040} + frac{x^9}{362880} – cdots $$
trong đó các quy luật tăng lũy thừa của $x$ thêm $2$ và chuyển đổi giữa dấu $+$ và dấu $-$ tiếp tục mãi mãi. (Các mẫu số cũng có một quy luật: lấy lũy thừa mà $x$ được nâng lên trong số hạng và nhân nó với tất cả các số nhỏ hơn xuống đến $1$; đó là số trong mẫu số). Lưu ý rằng bạn phải sử dụng radian để công thức chính xác này hoạt động; tất nhiên bạn có thể đưa ra một công thức cho độ.
Khi bạn bắt đầu nhận ra rằng các đường tròn thực sự là những đối tượng khá phức tạp để xác định, các công thức như thế bắt đầu trở nên hấp dẫn hơn. Tôi đã có nhiều sách giáo khoa toán học coi biểu thức vô cùng dài này là định nghĩa của hàm sin. (Hóa ra nó giống như định nghĩa đường tròn, nhưng… à, đường tròn trở nên phức tạp.)
Tất nhiên, chúng ta không thể cứ ngồi nhân và cộng trong suốt quãng đời còn lại chỉ để tính sin $1$, nhưng chúng ta có thể ngừng các phép toán sau một vài số hạng. Nếu bạn tính đến số hạng $x^7$, bạn có thể đảm bảo rằng câu trả lời của bạn chính xác đến ít nhất 3 chữ số thập phân miễn là bạn sử dụng các góc giữa $-frac{pi}{2}$ và $fracpi 2$. (Đây là những góc duy nhất bạn thực sự cần, nếu bạn loại bỏ các bội số của $pi$ một cách hợp lý.)
Công thức cosin, trong trường hợp bạn quan tâm, cũng tương tự:
$$cos x = 1 – frac{x^2}{2} + frac{x^4}{24} – frac{x^6}{720}+ frac{x^8}{40320}-cdots$$
Internet có các công thức cho các hàm lượng giác khác, nhưng bạn luôn có thể kết hợp chúng.
Như copper.hat nói, cũng có những cuốn sách lớn, nơi mọi người đã thực hiện các phép tính một lần và viết chúng xuống để không ai phải thực hiện lại. Tất nhiên, chúng được tạo ra rất lâu trước khi máy tính tồn tại; không ai làm chúng nữa! Nhưng ai đó từ thế hệ cha mẹ hoặc ông bà của bạn có lẽ vẫn có một cuốn ở trong nhà của họ.
Ngày nay, chúng ta có xu hướng dựa vào máy tính bỏ túi hoặc phần mềm để tính toán các giá trị lượng giác. Khi đối mặt với câu hỏi “tôi không thể tìm ra câu trả lời nếu không có máy tính”, hãy nhớ rằng có những phương pháp tính toán gần đúng và bảng tra cứu đã từng được sử dụng rộng rãi. Việc hiểu các khái niệm toán học cơ bản và giới hạn của các công cụ tính toán là rất quan trọng.
