Để giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, việc nắm vững khái niệm và phương pháp tìm “Hình Chiếu Vuông Góc Của đường Thẳng Lên Mặt Phẳng” là vô cùng quan trọng. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn kiến thức chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng để bạn có thể tự tin chinh phục dạng toán này.
Phương Pháp Xác Định Hình Chiếu Vuông Góc
Hình chiếu vuông góc của đường thẳng d lên mặt phẳng (P) là một đường thẳng d’ nằm trên (P), sao cho mọi điểm trên d đều có hình chiếu vuông góc trên d’. Để tìm d’, ta thực hiện các bước sau:
- Dựng mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P). Mặt phẳng (Q) này đóng vai trò quan trọng trong việc xác định hình chiếu.
- Tìm giao tuyến của (P) và (Q). Giao tuyến này chính là đường thẳng d’ cần tìm. Ta có: d’ = (P) ∩ (Q).
Hình ảnh minh họa phương pháp chung để xác định hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng trong không gian Oxyz.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d’ : (x-1)/2 = (y-2)/1 = (z+1)/(-1) lên mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0.
Lời giải:
-
Bước 1: Xác định VTCP và VTPT
- d’ có vectơ chỉ phương
u = (2; 1; -1). - (P) có vectơ pháp tuyến
n = (1; 1; -1).
- d’ có vectơ chỉ phương
-
Bước 2: Dựng mặt phẳng (Q)
- (Q) chứa d’ và vuông góc với (P). Vectơ pháp tuyến của (Q) là tích có hướng của
uvàn:nQ = [u, n] = (0; 1; 1). - Phương trình (Q) có dạng:
0(x - 1) + 1(y - 2) + 1(z + 1) = 0hayy + z - 1 = 0.
- (Q) chứa d’ và vuông góc với (P). Vectơ pháp tuyến của (Q) là tích có hướng của
-
Bước 3: Tìm giao tuyến
- Hình chiếu d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Tọa độ điểm M(x; y; z) thuộc d thỏa mãn hệ:
x + y - z + 1 = 0y + z - 1 = 0
- Giải hệ phương trình, ta được phương trình đường thẳng d.
- Hình chiếu d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Tọa độ điểm M(x; y; z) thuộc d thỏa mãn hệ:
Hình ảnh này hiển thị các phương án trả lời trắc nghiệm cho bài toán tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng.
Ví dụ 2: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+1)/1 = z/(-1) lên mặt phẳng (Oxy).
Lời giải:
Trong trường hợp này, mặt phẳng hình chiếu là (Oxy), có phương trình z = 0. Do đó, hình chiếu của một điểm M(x, y, z) trên d sẽ là M'(x, y, 0). Từ phương trình tham số của d, ta có thể suy ra phương trình tham số của hình chiếu d’ trên (Oxy) bằng cách thay z = 0.
Hình ảnh này thể hiện cách viết phương trình tham số của đường thẳng sau khi chiếu vuông góc lên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Các Trường Hợp Đặc Biệt
- Đường thẳng song song với mặt phẳng: Hình chiếu là một đường thẳng song song với đường thẳng ban đầu.
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Hình chiếu là một điểm.
- Đường thẳng nằm trên mặt phẳng: Hình chiếu là chính nó.
Bài Tập Vận Dụng
Bài 1: Cho đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+2)/1 = z/(-1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0. Tìm phương trình hình chiếu vuông góc của d lên (P).
Bài 2: Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: x = t, y = 1 + t, z = 2 – t lên mặt phẳng (Oxz).
Bài 3: Cho hai điểm A(1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?
Hình ảnh này cung cấp các lựa chọn đáp án cho một bài tập cụ thể về việc tìm hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng P.
Kết Luận
Việc nắm vững lý thuyết và luyện tập thường xuyên là chìa khóa để giải quyết thành công các bài toán về hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức và công cụ cần thiết để chinh phục dạng toán này. Chúc bạn học tốt!
