Trong hình học không gian, bài toán tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng hoặc mặt phẳng là một dạng toán quan trọng và thường gặp. Việc nắm vững phương pháp giải quyết bài toán này không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài tập trong chương trình học mà còn là nền tảng để tiếp cận các vấn đề phức tạp hơn. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết phương pháp và các ví dụ minh họa để bạn đọc dễ dàng nắm bắt.
A. Phương Pháp Tổng Quát
1. Tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d:
- Bước 1: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d. Mặt phẳng (P) này nhận vectơ chỉ phương của d làm vectơ pháp tuyến.
- Bước 2: Tìm giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của A trên d.
2. Tìm hình chiếu của điểm A lên mặt phẳng (P):
- Bước 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). Đường thẳng d này nhận vectơ pháp tuyến của (P) làm vectơ chỉ phương.
- Bước 2: Tìm giao điểm H của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Điểm H chính là hình chiếu vuông góc của A trên (P).
Hình ảnh minh họa phương pháp tìm hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d, sử dụng mặt phẳng vuông góc.
B. Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết
Ví dụ 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 1) trên đường thẳng d: x-3/1 = y-1/2 = z+1/-2.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{u_d} = (1; 2; -2)$.
Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d, (P) nhận $overrightarrow{u_d}$ làm vectơ pháp tuyến. Phương trình của (P) là:
$1(x – 1) + 2(y – 2) – 2(z – 1) = 0$
$Leftrightarrow x + 2y – 2z – 3 = 0$
Gọi H là giao điểm của d và (P). Tọa độ của H có dạng $H(t + 3; 2t + 1; -2t – 1)$. Thay vào phương trình (P):
$(t + 3) + 2(2t + 1) – 2(-2t – 1) – 3 = 0$
$Leftrightarrow t + 3 + 4t + 2 + 4t + 2 – 3 = 0$
$Leftrightarrow 9t + 4 = 0$
$Leftrightarrow t = -frac{4}{9}$
Vậy tọa độ hình chiếu của A trên d là $H(frac{23}{9}; frac{1}{9}; -frac{1}{9})$.
Hình ảnh trình bày các bước giải chi tiết cho ví dụ 1, tìm hình chiếu của điểm A lên đường thẳng d.
Ví dụ 2: Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 2 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của M trên mặt phẳng (P).
Giải:
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $overrightarrow{n_P} = (2; -1; 2)$.
Đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P) nhận $overrightarrow{n_P}$ làm vectơ chỉ phương. Phương trình tham số của d là:
$begin{cases} x = 1 + 2t y = -1 – t z = 2 + 2t end{cases}$
Gọi H là giao điểm của d và (P). Tọa độ của H có dạng $H(1 + 2t; -1 – t; 2 + 2t)$. Thay vào phương trình (P):
$2(1 + 2t) – (-1 – t) + 2(2 + 2t) + 2 = 0$
$Leftrightarrow 2 + 4t + 1 + t + 4 + 4t + 2 = 0$
$Leftrightarrow 9t + 9 = 0$
$Leftrightarrow t = -1$
Vậy tọa độ hình chiếu của M trên (P) là H(-1; 0; 0).
Hình ảnh trình bày các bước giải chi tiết cho ví dụ 2, tìm hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (P).
Ví dụ 3: Cho điểm M(2; -1; 8) và đường thẳng d: x-1/2 = y+1/-1 = z/2. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm M trên d.
Giải:
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $overrightarrow{u_d} = (2; -1; 2)$.
Phương trình tham số của d là:
$begin{cases} x = 1 + 2t y = -1 – t z = 2t end{cases}$
Xét điểm H(1 + 2t; -1 – t; 2t) thuộc d. Khi đó, $overrightarrow{MH} = (2t – 1; -t; 2t – 8)$.
H là hình chiếu vuông góc của M trên d khi và chỉ khi $overrightarrow{MH} cdot overrightarrow{u_d} = 0$
$Leftrightarrow 2(2t – 1) – 1(-t) + 2(2t – 8) = 0$
$Leftrightarrow 4t – 2 + t + 4t – 16 = 0$
$Leftrightarrow 9t – 18 = 0$
$Leftrightarrow t = 2$
Vậy hình chiếu vuông góc của M lên d là H(5; -3; 4).
Hình ảnh minh họa vector MH và vector chỉ phương của đường thẳng d trong ví dụ 3.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Tìm hình chiếu vuông góc của A(-2; 1; 0) trên đường thẳng d: x+3/-2 = y-2/1 = z+7/-2.
Câu 2: Cho M(0; 1; 3) và mặt phẳng (P): x + y – z + 2 = 0. Gọi H(a; b; c) là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tính a + b + c?
Câu 3: Cho điểm M(-2; 1; -2) và đường thẳng d: x/-1 = y-2/-2 = z-2/1. Tìm tọa độ H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên d.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d: x+1/1 = y-3/0 = z/-2 và điểm M(-2; 1; 0). Xác định hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d?
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0 và điểm M(-2; 1; 2). Xác định hình chiếu của M lên mặt phẳng (P).
D. Kết Luận
Việc tìm hình chiếu vuông góc của một điểm lên đường thẳng hoặc mặt phẳng là một kỹ năng quan trọng trong hình học không gian. Bằng cách nắm vững phương pháp và luyện tập thường xuyên, bạn sẽ có thể giải quyết các bài toán liên quan một cách dễ dàng và chính xác. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích để chinh phục dạng toán này.
