Trong hình học không gian, việc xác định hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng là một bài toán quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan đến “Hình Chiếu đường Thẳng Lên Mặt Phẳng”.
A. Phương Pháp Giải Tổng Quát
Để tìm hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
- Xác định mặt phẳng (Q): Tìm một mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d’ và vuông góc với mặt phẳng (P).
- Tìm giao tuyến: Hình chiếu d cần tìm chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q): d = (P) ∩ (Q).
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), biết:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
-
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương:
-
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:
-
Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có vectơ pháp tuyến:
-
Một điểm thuộc d’ (và do đó thuộc (Q)) là: (1; 2; -1).
-
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
1.(x – 1) + 0.(y – 2) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 2 = 0
-
Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q).
Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:
Vậy phương trình của d là:
Chọn A.
Ví dụ 2:
Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu của d trên (Oxy) biết:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
Mỗi điểm M (x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là điểm M’ (x; y; 0) thuộc d’ với d’ là hình chiếu của d trên (Oxy).
Vậy d’ có phương trình tham số là:
Chọn C.
Ví dụ 3:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt thẳng (P): 3x+ 5y – z- 2= 0 . Gọi d’ là hình chiếu của d lên (P). Phương trình tham số của d’ là
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
-
Gọi mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc với (P).
Đường thẳng d đi qua điểm B( 12; 9; 1) và có vectơ chỉ phương -
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
=> Mặt phẳng ( Q) qua B( 12; 9; 1) có vectơ pháp tuyến
=> Phương trình (Q): – 8( x- 12) + 7( y- 9) + 11(z- 1) = 0
Hay – 8x + 7y + 11z + 22= 0
- Đường thẳng d’ cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q).
Tìm một điểm thuộc d’, bằng cách cho y= 0
=> M( 0; 0; – 2)∈ d
- Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; 0; – 2) và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của d’ là:
Chọn B.
Ví dụ 4:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 1; 1; -2) và B(0; 2; -2). Cho mặt phẳng ( P): x+ y- 2z- 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng ( P)?
A.
B.
C.
D. Tất cả sai
Lời giải:
-
Thay tọa độ điểm A và B vào phương trình mặt phẳng ( P) ta được :
1+ 1- 2.(-2) – 6 = 0 ( thỏa mãn).
Và 0+ 2- 2( -2) – 6= 0 ( thỏa mãn) .
=> Hai điểm A và B cùng thuộc mặt phẳng (P).
Suy ra; mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AB.
=> Hình chiếu của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P) là chính nó.
- Đường thẳng AB: đi qua A( 1; 1; -2) và nhận vecto
=> Phương trình AB:
Chọn C.
Ví dụ 5:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( -1; 2; 0) và B( 0; 1; 1). Mặt phẳng (P): 3x+ y- z + 6= 0. Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng AB trên mặt phẳng ( P)?
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
-
Gọi mặt phẳng (Q) chứa AB và vuông góc với (P).
Đường thẳng AB đi qua A( -1; 2;0) và có vectơ chỉ phương -
Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến
=> Mặt phẳng ( Q) qua A( – 1; 2; 0) có vectơ pháp tuyến
chọn vecto
=> Phuong trình (Q): 0( x+ 1) + 1( y- 2) + 1( z- 0) = 0 Hay y+ z – 2= 0
- Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của (P) và (Q). Suy ra mỗi điểm M( x; y; z) thuộc d thì thỏa mãn :
Tìm một điểm thuộc d, bằng cách cho x= 0
=> M( 0;-2; 4) ∈d
- Đường thẳng d’ đi qua điểm M( 0; – 2; 4) và có vectơ chỉ phương
Vậy phương trình tham số của d’ là:
Chọn A.
Ví dụ 6:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A( 1; 0;0); B( 0; 1; 0) và C( 0; 0;1). Đường thẳng
. Gọi đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Trong các điểm sau điểm nào thuộc Δ?
A. ( 1; 2; -1)
B. ( 2; – 3; – 2)
C. (- 1; 3; -1)
D. ( 0; – 1; 0)
Lời giải:
-
Đường thẳng d có vecto chỉ phương
-
Phương trình mặt phẳng
hay x+ y+ z- 1= 0
-
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (P)
=> Mặt phẳng (Q) đi qua điểm B(0; 1; 0) thuộc d và nhận vecto
làm vecto pháp tuyến chọn
=> Phương trình mặt phẳng ( Q): 1(x- 0) + 0( y- 1) – 1( z- 0) = 0
Hay ( Q): x- z= 0
- đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Do đó: với mỗi điểm M(x;y;z) thuộc Δ phải thỏa mãn:
Đặt x= t =>
=> Phương trình tham số của đường thẳng Δ:
- cho t= – 1 ta được điểm H( -1;3; -1) thuộc đường thẳng Δ.
Chọn C
Ví dụ 7:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
; mặt phẳng (P) đi qua H(1;1;1)và song song với mặt phẳng ( Q): x-2y+ z- 2= 0. Viết phương trình đường thẳng Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P)?
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
- Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng ( Q) nên phương trình mặt phẳng ( P) có dạng: x- 2y + z+ D= 0
Mà điểm H( 1; 1; 1) thuộc (P) nên : 1- 2. 1+ 1+ D= 0 ⇔ D= 0
Vậy phương trình (P): x- 2y + z= 0
-
Đường thẳng d đi qua M(1 ;2; 0) và có vecto chỉ phương
-
Gọi ( R) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P).
=> (R) qua M( 1; 2; 0) và có vecto pháp tuyến
=> Phương trình ( R): 2( x- 1) + 3( y- 2) + 4( z- 0) = 0 hay 2x + 3y+ 4z – 8= 0
- Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của mặt phẳng (P) và ( R). Do đó; với mỗi điểm N( x;y; z) thuộc đường thẳng Δ thỏa mãn:
Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0; thay vào hệ phương trình trên ta được x= -4 và z= 4 => I( – 4; 0; 4) thuộc Δ.
Đường thẳng Δ có vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng Δ:
Chọn D.
Ví dụ 8:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và mặt phẳng (P): 2x- y- z+ 4= 0. Gọi Δ là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P). Biết phương trình đường thẳng Δ có dạng:
. Tính a+ b+ c?
A. 3
B. 2
C.– 4
D. 5
Lời giải:
- Đường thẳng d đi qua A( -2; 1; 0) có vecto chỉ phương
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến
- Gọi ( Q) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó; mặt phẳng (Q) chứa A( -2; 1; 0) và nhận vecto
=> Phương trình ( Q): 1( x+ 2) + 1( y- 1) + 1( z-0) = 0 hay x+ y+ z+ 2 = 0
- Đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) và ( Q). Với mỗi điểm M( x; y; z) thuộc Δ thỏa mãn hệ phương trình:
Chọn một điểm thuộc Δ bằng cách cho y= 0 thay vào hệ ta được x= – 2 và z= 0
=> Điểm B( -2; 0; 0) thuộc Δ và Δ nhận vecto
làm vecto chỉ phương
=> Phương trình đường thẳng Δ:
=> a= 0; b= 0 và c= 3 nên a+ b+c= 3
Chọn A.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1:
Viết phương trình đường thẳng d là hình chiếu của d’ trên (P) biết:
A.
B.
C.
D. Đáp án khác
Lời giải:
-
Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương
-
Mặt phẳng ( P) có vecto pháp tuyến là:
-
Mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P) có
Một điểm thuộc d’ cũng thuộc (Q) là: ( 0; 0; -1)
Phương trình mặt phẳng (Q) là: 1.(x – 0) + 0.(y – 0) – 1.(z + 1) = 0 hay x – z – 1 = 0
- Hình chiếu cần tìm d = (P) ∩ (Q)
Tọa độ của điểm M (x; y; z) thuộc d thỏa mãn:
Vậy phương trình của d là:
