Trong hình học không gian, việc tìm hình chiếu của một đường thẳng lên một mặt phẳng là một bài toán quan trọng. Bài viết này sẽ trình bày phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa để giúp bạn nắm vững kiến thức về “Hình Chiếu Của đường Thẳng Lên Mặt Phẳng”.
Phương Pháp Giải Bài Toán Hình Chiếu Của Đường Thẳng Lên Mặt Phẳng
Để tìm hình chiếu của đường thẳng d’ lên mặt phẳng (P), ta thực hiện các bước sau:
-
Tìm mặt phẳng (Q) chứa d’ và vuông góc với (P):
- Xác định vector chỉ phương của d’ và vector pháp tuyến của (P).
- Vector pháp tuyến của (Q) là tích có hướng của vector chỉ phương của d’ và vector pháp tuyến của (P).
- Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua một điểm thuộc d’ và có vector pháp tuyến vừa tìm được.
-
Tìm giao tuyến của (P) và (Q):
- Hình chiếu của d’ lên (P) chính là giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Để tìm phương trình đường thẳng d, ta giải hệ phương trình gồm phương trình của (P) và (Q).
Hình ảnh minh họa phương pháp cơ bản để xác định hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng trong không gian Oxyz.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Tìm phương trình đường thẳng d là hình chiếu của đường thẳng d’ trên mặt phẳng (P), biết:
d’: x = 1 + t
y = 2
z = -1 + t
(P): x + y + z – 4 = 0
Lời giải:
-
Tìm mặt phẳng (Q):
- d’ có vector chỉ phương
u = (1; 0; 1). - (P) có vector pháp tuyến
n = (1; 1; 1). - Vector pháp tuyến của (Q) là
[u, n] = (-1; 0; 1).
Hình ảnh thể hiện cách xác định và tính toán vector chỉ phương của đường thẳng d’ và vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) để tìm mặt phẳng (Q).
- (Q) đi qua điểm (1; 2; -1) và có vector pháp tuyến (-1; 0; 1).
- Phương trình (Q): -1(x – 1) + 0(y – 2) + 1(z + 1) = 0 => -x + z + 2 = 0.
- d’ có vector chỉ phương
-
Tìm giao tuyến d:
- d là giao tuyến của (P): x + y + z – 4 = 0 và (Q): -x + z + 2 = 0.
Hình ảnh mô tả hệ phương trình tạo bởi hai mặt phẳng (P) và (Q) và cách giải để tìm ra phương trình đường thẳng hình chiếu.
- Giải hệ phương trình này, ta được phương trình tham số của d:
x = t
y = 2
z = t – 2Vậy đáp án đúng là A.
Hình ảnh hiển thị đáp án cuối cùng của bài toán, là phương trình tham số của đường thẳng hình chiếu.
Ví dụ 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng d trên mặt phẳng (Oxy), biết:
d: x = t
y = 1 + t
z = 2 + t
Lời giải:
Mọi điểm M(x; y; z) thuộc d có hình chiếu trên (Oxy) là M'(x; y; 0). Vậy hình chiếu d’ của d trên (Oxy) có phương trình:
x = t
y = 1 + t
z = 0
Hình ảnh minh họa sự thay đổi tọa độ z về 0 khi chiếu một điểm từ đường thẳng d xuống mặt phẳng Oxy.
Ví dụ 3: Tìm phương trình hình chiếu của d trên (P), biết:
d: x-1/2 = y-2/2 = z-1/-1
(P): 3x + 5y – z – 2 = 0
Lời giải:
-
Tìm mặt phẳng (Q) chứa d và vuông góc (P):
- d đi qua B(1; 2; 1) và có vector chỉ phương
u = (2; 2; -1). - (P) có vector pháp tuyến
n = (3; 5; -1).
Hình ảnh thể hiện cách xác định điểm đi qua và vector chỉ phương của đường thẳng d, cũng như vector pháp tuyến của mặt phẳng (P).
- Vector pháp tuyến của (Q):
[u, n] = (3; -1; 4). - Phương trình (Q): 3(x – 1) – 1(y – 2) + 4(z – 1) = 0 => 3x – y + 4z – 5 = 0.
- d đi qua B(1; 2; 1) và có vector chỉ phương
-
Tìm giao tuyến d’ của (P) và (Q):
- Giải hệ:
3x + 5y – z – 2 = 0
3x – y + 4z – 5 = 0- Ta tìm được một điểm M thuộc d’ bằng cách đặt y = 0, suy ra M(1/2, 0, -1/2).
Hình ảnh minh họa việc giải hệ phương trình để tìm một điểm nằm trên đường thẳng hình chiếu và cách xác định vector chỉ phương của nó.
- Vector chỉ phương của d’:
[n_P, n_Q] = (-1; -15; -18). - Phương trình tham số của d’:
x = 1/2 – t
y = 0 – 15t
z = -1/2 – 18t
Các Trường Hợp Đặc Biệt
-
Nếu đường thẳng AB nằm trên mặt phẳng (P), thì hình chiếu của AB lên (P) chính là AB.
Hình ảnh minh họa trường hợp đặc biệt khi đường thẳng AB đã nằm sẵn trên mặt phẳng (P).
-
Để tìm hình chiếu lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy), (Oxz), (Oyz), ta chỉ cần cho tọa độ tương ứng bằng 0. Ví dụ, hình chiếu lên (Oxy) thì z = 0.
Bài Tập Vận Dụng
Hãy tự giải các bài tập sau để củng cố kiến thức:
Bài 1: Tìm hình chiếu của đường thẳng d: (x-1)/2 = (y+5)/-1 = (z-3)/4 lên mặt phẳng x + 3 = 0.
Bài 2: Tìm hình chiếu của đường thẳng d: x/1 = (y-1)/1 = (z-2)/-1 lên mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0.
Bài 3: Cho đường thẳng d: x/1 = (y-1)/1 = (z-2)/-1 và Δ: x/2 = (y-1)/1 = (z-2)/-4. Biết Δ là hình chiếu vuông góc của d trên mặt phẳng (P). Viết phương trình của (P).
