Trong hình học giải tích, hệ số góc của tiếp tuyến đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả độ dốc của đường cong tại một điểm cụ thể. Bài viết này sẽ trình bày chi tiết về hệ số góc của tiếp tuyến, cách tính, ứng dụng và các bài tập minh họa.
Định nghĩa hệ số góc của tiếp tuyến
Hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm trên đồ thị hàm số là độ dốc của đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số đó tại điểm đó. Nó còn được gọi là đạo hàm của hàm số tại điểm đó.
Cách xác định hệ số góc của tiếp tuyến
Cho hàm số y = f(x), để tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀, ta thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm của hàm số: Tìm f'(x).
- Thay x₀ vào đạo hàm: Tính f'(x₀). Giá trị này chính là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀.
Hệ số góc của tiếp tuyến cho biết độ dốc của đường thẳng tiếp tuyến tại một điểm, liên hệ giữa góc tạo bởi tiếp tuyến và trục Ox.
Phương trình tiếp tuyến
Khi biết hệ số góc k và tọa độ tiếp điểm M(x₀; y₀), ta có thể viết phương trình tiếp tuyến như sau:
y – y₀ = k(x – x₀)
Trong đó:
- k = f'(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến.
- (x₀; y₀) là tọa độ tiếp điểm.
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² tại điểm có hoành độ x = 1.
- Bước 1: Tính đạo hàm: y’ = 2x
- Bước 2: Thay x = 1 vào đạo hàm: y'(1) = 2 * 1 = 2
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 là 2.
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ – 3x + 2 tại điểm có hoành độ x = 0.
- Bước 1: Tính đạo hàm: y’ = 3x² – 3
- Bước 2: Thay x = 0 vào đạo hàm: y'(0) = 3 * 0² – 3 = -3. Vậy hệ số góc k = -3.
- Bước 3: Tính tung độ của tiếp điểm: y(0) = 0³ – 3 * 0 + 2 = 2. Vậy tiếp điểm là (0; 2).
- Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến: y – 2 = -3(x – 0) hay y = -3x + 2.
Hệ số góc của tiếp tuyến giúp xác định phương trình tiếp tuyến, ứng dụng trong việc tìm điểm cực trị và khảo sát hàm số.
Ứng dụng của hệ số góc của tiếp tuyến
- Tìm điểm cực trị: Tại các điểm cực trị của hàm số, tiếp tuyến có hệ số góc bằng 0 (nếu tồn tại).
- Khảo sát hàm số: Hệ số góc của tiếp tuyến giúp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Giải các bài toán liên quan đến tiếp tuyến: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc, tìm điểm trên đồ thị thỏa mãn điều kiện tiếp tuyến.
- Ứng dụng trong vật lý: Tính vận tốc tức thời của chuyển động (vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian).
Các dạng bài tập thường gặp
Dạng 1: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm
- Cho hàm số y = f(x) và hoành độ tiếp điểm x₀.
- Tính đạo hàm f'(x).
- Tính f'(x₀) để tìm hệ số góc.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
- Cho hàm số y = f(x) và hệ số góc k.
- Giải phương trình f'(x) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x₀.
- Tính tung độ tiếp điểm y₀ = f(x₀).
- Viết phương trình tiếp tuyến: y – y₀ = k(x – x₀).
Dạng 3: Tìm điểm trên đồ thị hàm số thỏa mãn điều kiện tiếp tuyến
- Cho hàm số y = f(x) và điều kiện tiếp tuyến (ví dụ: tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với một đường thẳng cho trước).
- Sử dụng điều kiện tiếp tuyến để thiết lập phương trình.
- Giải phương trình để tìm hoành độ tiếp điểm.
- Tính tung độ tiếp điểm và kết luận.
Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ – 2x² + 1 tại điểm có hoành độ x = 2.
Lời giải:
- y’ = 3x² – 4x
- y'(2) = 3 2² – 4 2 = 12 – 8 = 4
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là 4.
Việc hiểu rõ về hệ số góc tiếp tuyến và phương pháp tính giúp giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tiếp tuyến và khảo sát hàm số.
Bài 2: Cho hàm số y = (x + 1) / (x – 2). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng -1.
Lời giải:
- y’ = -3 / (x – 2)²
- Giải phương trình -3 / (x – 2)² = -1 => (x – 2)² = 3 => x = 2 ± √3
- Với x = 2 + √3 => y = (3 + √3) / √3 = √3 + 1. Phương trình tiếp tuyến: y – (√3 + 1) = -1(x – (2 + √3)) => y = -x + 3
- Với x = 2 – √3 => y = (3 – √3) / (-√3) = √3 – 1. Phương trình tiếp tuyến: y – (√3 – 1) = -1(x – (2 – √3)) => y = -x + 1
Bài 3: Cho hàm số y = x² – 4x + 3. Tìm điểm trên đồ thị hàm số mà tại đó tiếp tuyến song song với trục hoành.
Lời giải:
- Tiếp tuyến song song với trục hoành có hệ số góc bằng 0.
- y’ = 2x – 4
- Giải phương trình 2x – 4 = 0 => x = 2
- Với x = 2 => y = 2² – 4 * 2 + 3 = -1. Vậy điểm cần tìm là (2; -1).
Kết luận
Hệ số góc của tiếp tuyến là một khái niệm quan trọng trong giải tích, giúp mô tả độ dốc của đường cong tại một điểm. Việc nắm vững định nghĩa, cách tính và ứng dụng của hệ số góc tiếp tuyến sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán liên quan đến tiếp tuyến và khảo sát hàm số một cách hiệu quả.
