Hàm số y = ax² (với a khác 0) là một trong những hàm số quan trọng và thú vị trong chương trình Toán học lớp 9. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn sâu sắc về hàm số này, bao gồm định nghĩa, tính chất, đồ thị và các ứng dụng thực tế.
Định Nghĩa và Tính Chất Cơ Bản của Hàm Số y = ax²
Hàm số y = ax² (a ≠ 0) là hàm số bậc hai, trong đó ‘a’ là một hằng số khác không.
- Tính chất 1: Tính chẵn lẻ:
- Hàm số y = ax² là hàm số chẵn vì y(-x) = a(-x)² = ax² = y(x). Điều này có nghĩa là đồ thị của hàm số đối xứng qua trục tung (trục y).
- Tính chất 2: Chiều biến thiên:
- Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; 0) và đồng biến trên khoảng (0; +∞). Điểm thấp nhất của đồ thị là gốc tọa độ (0; 0), còn gọi là đỉnh của parabol.
- Nếu a < 0: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞; 0) và nghịch biến trên khoảng (0; +∞). Điểm cao nhất của đồ thị là gốc tọa độ (0; 0), còn gọi là đỉnh của parabol.
Đồ Thị Hàm Số y = ax²
Đồ thị của hàm số y = ax² là một đường cong đặc biệt gọi là parabol.
- Hình dạng:
- Nếu a > 0: Parabol có bề lõm hướng lên trên.
- Nếu a < 0: Parabol có bề lõm hướng xuống dưới.
- Đỉnh: Đỉnh của parabol luôn nằm tại gốc tọa độ (0; 0).
- Trục đối xứng: Trục tung (trục y) là trục đối xứng của parabol.
- Cách vẽ đồ thị:
- Xác định hệ số ‘a’.
- Lập bảng giá trị: Chọn một vài giá trị của x (cả dương và âm) rồi tính giá trị tương ứng của y. Nên chọn các giá trị x sao cho dễ tính toán và phân bố đều quanh gốc tọa độ.
- Vẽ các điểm đã xác định trên mặt phẳng tọa độ.
- Vẽ đường parabol đi qua các điểm này. Lưu ý đảm bảo tính đối xứng của parabol qua trục tung.
Hình ảnh minh họa đồ thị hàm số y = ax^2 khi hệ số a lớn hơn 0, cho thấy parabol có bề lõm hướng lên và đỉnh tại gốc tọa độ, thể hiện tính chất đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x²
- Hệ số a = 2 > 0.
- Bảng giá trị:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 |
- Vẽ các điểm (-2; 8), (-1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8) trên mặt phẳng tọa độ.
- Vẽ đường parabol đi qua các điểm này.
Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số y = -x²
- Hệ số a = -1 < 0.
- Bảng giá trị:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| y | -4 | -1 | 0 | -1 | -4 |
- Vẽ các điểm (-2; -4), (-1; -1), (0; 0), (1; -1), (2; -4) trên mặt phẳng tọa độ.
- Vẽ đường parabol đi qua các điểm này.
Ứng Dụng Thực Tế của Hàm Số y = ax²
Hàm số y = ax² không chỉ là một khái niệm toán học trừu tượng, mà còn có rất nhiều ứng dụng thực tế trong cuộc sống và các lĩnh vực khoa học khác.
- Vật lý: Quỹ đạo của một vật thể bị ném theo phương ngang (bỏ qua sức cản không khí) có dạng parabol.
- Kỹ thuật: Thiết kế các bộ phận của ăng-ten parabol để tập trung tín hiệu.
- Kiến trúc: Các mái vòm parabol được sử dụng trong xây dựng để tạo ra các cấu trúc vững chắc và thẩm mỹ.
Hình ảnh minh họa ứng dụng của đường parabol trong thiết kế ăng-ten thu sóng, thể hiện khả năng tập trung tín hiệu tại một điểm duy nhất, tối ưu hóa hiệu quả truyền thông.
Bài Tập Vận Dụng
- Cho hàm số y = 3x².
- Xác định chiều biến thiên của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
- Cho hàm số y = -0.5x².
- Xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số.
- Vẽ đồ thị hàm số.
- Một quả bóng được ném lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu v0. Độ cao của quả bóng so với mặt đất sau t giây được cho bởi công thức h = v0t – 5t². Tìm thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất.
Kết Luận
Hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một công cụ mạnh mẽ để mô tả và giải quyết nhiều vấn đề trong toán học, khoa học và kỹ thuật. Việc hiểu rõ định nghĩa, tính chất và đồ thị của hàm số này sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức và áp dụng vào thực tế một cách hiệu quả. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn tổng quan và chi tiết về hàm số y = ax².
