Hàm Số Parabol, hay còn gọi là hàm số bậc hai, là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình Toán học phổ thông. Bài viết này sẽ cung cấp đầy đủ lý thuyết, cách vẽ đồ thị, chiều biến thiên và các dạng bài tập thường gặp về hàm số parabol, giúp bạn nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết mọi bài toán.
1. Khái Niệm Hàm Số Parabol (Hàm Số Bậc Hai)
Hàm số parabol là hàm số được định nghĩa bởi công thức:
$y = ax^2 + bx + c$
Trong đó:
- $a, b, c$ là các hằng số và $a ≠ 0$.
- $x$ là biến số độc lập.
- Tập xác định của hàm số là tập hợp tất cả các số thực R.
Đồ thị của hàm số parabol là một đường cong hình chữ U, có bề lõm hướng lên trên nếu $a > 0$ và bề lõm hướng xuống dưới nếu $a < 0$. Điểm thấp nhất (nếu $a > 0$) hoặc điểm cao nhất (nếu $a < 0$) của đồ thị được gọi là đỉnh của parabol.
2. Chiều Biến Thiên của Hàm Số Parabol
Chiều biến thiên của hàm số parabol phụ thuộc vào dấu của hệ số $a$.
-
Trường hợp 1: $a > 0$
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-∞, -frac{b}{2a})$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-frac{b}{2a}, +∞)$.
- Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = -frac{b}{2a}$, giá trị nhỏ nhất là $y = -frac{Δ}{4a}$ (với $Δ = b^2 – 4ac$).
-
Trường hợp 2: $a < 0$
- Hàm số đồng biến trên khoảng $(-∞, -frac{b}{2a})$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-frac{b}{2a}, +∞)$.
- Hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = -frac{b}{2a}$, giá trị lớn nhất là $y = -frac{Δ}{4a}$ (với $Δ = b^2 – 4ac$).
3. Các Bước Vẽ Đồ Thị Hàm Số Parabol
Để vẽ đồ thị hàm số parabol $y = ax^2 + bx + c$, ta thực hiện các bước sau:
- Xác định tọa độ đỉnh I: $I(-frac{b}{2a}, -frac{Δ}{4a})$.
- Xác định trục đối xứng: Trục đối xứng của parabol là đường thẳng $x = -frac{b}{2a}$.
- Xác định hướng bề lõm:
- Nếu $a > 0$: Bề lõm quay lên trên.
- Nếu $a < 0$: Bề lõm quay xuống dưới.
- Tìm giao điểm với các trục tọa độ (nếu có):
- Giao điểm với trục Oy: Cho $x = 0$, ta tìm được $y = c$.
- Giao điểm với trục Ox: Giải phương trình $ax^2 + bx + c = 0$.
- Chọn thêm một số điểm thuộc đồ thị: Chọn các giá trị $x$ khác nhau và tính giá trị $y$ tương ứng.
- Vẽ parabol: Vẽ đường cong đi qua các điểm đã xác định, đối xứng qua trục đối xứng và có hình dạng parabol.
4. Các Dạng Bài Tập Về Hàm Số Parabol và Cách Giải
Dạng 1: Xác định hệ số của hàm số parabol khi biết các điều kiện cho trước.
- Phương pháp:
- Sử dụng các điều kiện đề bài cho (ví dụ: đi qua điểm, có đỉnh, có trục đối xứng, cắt trục Ox, Oy tại điểm nào đó…) để thiết lập hệ phương trình.
- Giải hệ phương trình để tìm các hệ số $a, b, c$.
Ví dụ: Xác định parabol (P): $y = ax^2 + bx + c$, biết (P) đi qua A(1; -2), có đỉnh I(2; -1).
Dạng 2: Tìm tọa độ đỉnh, trục đối xứng, giá trị lớn nhất/nhỏ nhất của hàm số parabol.
- Phương pháp:
- Sử dụng công thức tọa độ đỉnh: $I(-frac{b}{2a}, -frac{Δ}{4a})$.
- Trục đối xứng: $x = -frac{b}{2a}$.
- Giá trị lớn nhất/nhỏ nhất: $y = -frac{Δ}{4a}$ (xét dấu của a để biết là GTLN hay GTNN).
Dạng 3: Vẽ đồ thị hàm số parabol.
- Phương pháp: Thực hiện các bước vẽ đồ thị như đã trình bày ở mục 3.
Dạng 4: Xét sự tương giao giữa parabol và đường thẳng.
- Phương pháp:
- Viết phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.
- Giải phương trình hoành độ giao điểm.
- Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của parabol và đường thẳng.
Ví dụ: Tìm giao điểm của parabol $(P): y = x^2 – 2x + 3$ và đường thẳng $(d): y = x + 1$.
Hy vọng với những kiến thức và bài tập trên, bạn sẽ nắm vững kiến thức về hàm số parabol và tự tin giải quyết các bài toán liên quan. Chúc bạn học tốt!
