Để xác định hàm số nào liên tục tại $x = 1$, ta cần xem xét định nghĩa và các điều kiện để một hàm số liên tục tại một điểm.
Định nghĩa: Hàm số $f(x)$ được gọi là liên tục tại $x = x_0$ nếu thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
- $f(x_0)$ tồn tại (nghĩa là $x_0$ thuộc tập xác định của $f$).
- $lim_{x to x_0} f(x)$ tồn tại (giới hạn của $f(x)$ khi $x$ tiến đến $x_0$ tồn tại).
- $lim_{x to x_0} f(x) = f(x_0)$ (giá trị của giới hạn bằng giá trị của hàm số tại điểm đó).
Xét các hàm số thường gặp và cách kiểm tra tính liên tục của chúng tại $x = 1$:
-
Hàm đa thức: Các hàm đa thức luôn liên tục trên toàn bộ tập số thực $mathbb{R}$, do đó chúng liên tục tại $x = 1$. Ví dụ, $f(x) = x^2 + 2x – 1$ liên tục tại $x = 1$.
-
Hàm phân thức hữu tỉ: Hàm phân thức hữu tỉ $frac{P(x)}{Q(x)}$ (với $P(x)$ và $Q(x)$ là các đa thức) liên tục tại mọi điểm $x$ mà $Q(x) neq 0$. Do đó, để kiểm tra tính liên tục tại $x = 1$, ta cần đảm bảo $Q(1) neq 0$.
Alt text: Gian hàng Vietjack Official Store trên Shopee, cung cấp các đầu sách và tài liệu học tập hỗ trợ học sinh và giáo viên.
-
Hàm lượng giác: Các hàm lượng giác như $sin(x)$ và $cos(x)$ liên tục trên toàn bộ tập số thực $mathbb{R}$. Hàm số $tan(x) = frac{sin(x)}{cos(x)}$ liên tục tại mọi $x$ mà $cos(x) neq 0$.
-
Hàm căn thức: Hàm số $sqrt{x}$ liên tục trên $[0, +infty)$.
-
Hàm số cho bởi nhiều công thức: Với các hàm số được định nghĩa bởi nhiều công thức khác nhau trên các khoảng khác nhau, ta cần kiểm tra tính liên tục tại các điểm “nối” giữa các khoảng đó. Ví dụ, xét hàm số:
$f(x) = begin{cases} x + 1, & text{nếu } x < 1 2, & text{nếu } x = 1 x^2, & text{nếu } x > 1 end{cases}$
Để kiểm tra tính liên tục tại $x = 1$, ta tính:
- $f(1) = 2$
- $lim{x to 1^-} f(x) = lim{x to 1^-} (x + 1) = 2$
- $lim{x to 1^+} f(x) = lim{x to 1^+} x^2 = 1$
Vì $lim{x to 1^-} f(x) neq lim{x to 1^+} f(x)$, nên $lim_{x to 1} f(x)$ không tồn tại, do đó hàm số không liên tục tại $x = 1$.
Alt text: Hình ảnh đồ thị hàm số minh họa tính liên tục, gián đoạn, và giới hạn của hàm số tại một điểm.
Ví dụ:
Cho các hàm số sau:
A. $f(x) = frac{1}{x – 1}$
B. $f(x) = sqrt{x – 1}$
C. $f(x) = x^2 + 1$
D. $f(x) = begin{cases} x, & text{nếu } x neq 1 0, & text{nếu } x = 1 end{cases}$
- A: $f(x) = frac{1}{x – 1}$ không liên tục tại $x = 1$ vì mẫu số bằng 0.
- B: $f(x) = sqrt{x – 1}$ liên tục tại $x = 1$ vì $f(1) = 0$ và $lim_{x to 1^+} sqrt{x – 1} = 0$. Lưu ý là chỉ xét giới hạn bên phải vì hàm số không xác định với $x < 1$.
- C: $f(x) = x^2 + 1$ liên tục tại $x = 1$ vì là hàm đa thức.
- D: $f(x) = begin{cases} x, & text{nếu } x neq 1 0, & text{nếu } x = 1 end{cases}$ không liên tục tại $x = 1$ vì $f(1) = 0$ nhưng $lim_{x to 1} f(x) = 1$.
Vậy, hàm số $f(x) = x^2 + 1$ liên tục tại $x = 1$.
