Trong chương trình Toán học phổ thông, việc xác định tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là một trong những kiến thức quan trọng. Bài viết này sẽ đi sâu vào việc tìm hiểu các dạng hàm số thường gặp và phương pháp xác định xem “Hàm Số Nào Sau đây đồng Biến Trên R” (tập hợp số thực).
Để một hàm số đồng biến trên R, đạo hàm của nó phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. Chúng ta sẽ cùng phân tích một số ví dụ điển hình.
Ví dụ 1:
Xét hàm số: y=x−1x+2
Tập xác định của hàm số này là ℝ {-2}. Do đó, hàm số này không thể đồng biến trên R vì nó không xác định tại x = -2.
Ví dụ 2:
Hàm trùng phương (ví dụ: y = ax^4 + bx^2 + c) luôn có khoảng đồng biến và nghịch biến, do đó, nó không thể đồng biến trên toàn bộ R.
Ví dụ 3:
Xét hàm số y = x3 + 4×2 + 3x – 1
Tính đạo hàm: y’ = 3×2 + 8x + 3
Để hàm số đồng biến trên R, y’ phải lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R. Tuy nhiên, trong trường hợp này, đạo hàm không luôn lớn hơn hoặc bằng 0, do đó hàm số không đồng biến trên R.
Ví dụ 4:
Alt: Đồ thị hàm số y = (1/3)x^3 – (1/2)x^2 + 3x + 1 minh họa tính đồng biến trên toàn tập số thực R
Xét hàm số: y=13×3−12×2+3x+1
Tính đạo hàm: y’ = x2 – x + 3
Ta thấy rằng y’ > 0 với mọi x thuộc R (vì delta < 0 và a > 0). Điều này chứng tỏ hàm số đồng biến trên R. Vậy, đáp án đúng là hàm số này đồng biến trên R.
Tổng quát, để xác định “hàm số nào sau đây đồng biến trên R”, ta thực hiện các bước sau:
- Tìm tập xác định của hàm số: Nếu tập xác định không phải là R, hàm số không thể đồng biến trên R.
- Tính đạo hàm của hàm số: Đạo hàm cho biết sự biến thiên của hàm số.
- Xét dấu của đạo hàm:
- Nếu đạo hàm lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R, hàm số đồng biến trên R.
- Nếu đạo hàm nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi x thuộc R, hàm số nghịch biến trên R.
- Lưu ý các trường hợp đặc biệt: Hàm bậc nhất (y = ax + b với a > 0) luôn đồng biến trên R.
Bài tập vận dụng:
Hàm số nào sau đây đồng biến trên R?
A. y = -x + 1
B. y = x^2
C. y = x^3 – x
D. y = x^3 + x
Hướng dẫn giải:
- A: y’ = -1 < 0, hàm số nghịch biến.
- B: y’ = 2x, đổi dấu tại x = 0, hàm số không đồng biến trên R.
- C: y’ = 3x^2 – 1, đổi dấu, hàm số không đồng biến trên R.
- D: y’ = 3x^2 + 1 > 0 với mọi x thuộc R, hàm số đồng biến trên R.
Đáp án: D
Hy vọng với những kiến thức và ví dụ trên, bạn đã hiểu rõ hơn về cách xác định “hàm số nào sau đây đồng biến trên R”. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức này nhé!
Alt: Minh họa đồ thị hàm số bậc nhất y = (m+1)x – 2/(x-m) với m > -1, thể hiện tính đồng biến trên từng khoảng xác định, giúp hình dung về điều kiện để hàm số đồng biến
