Trong toán học, tính liên tục của hàm số là một khái niệm quan trọng. Một hàm số được gọi là liên tục trên một khoảng nếu đồ thị của nó không bị “đứt quãng” trên khoảng đó. Ngược lại, nếu tồn tại ít nhất một điểm mà tại đó hàm số bị gián đoạn, ta nói hàm số đó không liên tục trên khoảng đó. Bài viết này sẽ tập trung vào việc xác định hàm số nào không liên tục trên tập số thực R, cùng với các ví dụ minh họa và phân tích chi tiết.
Xét bài toán sau: Hàm số nào sau đây không liên tục trên R?
Đáp án chính xác: B
Hàm số y = 3x/(x+2) không xác định tại x = -2 nên không liên tục tại x = -2. Do đó, nó không liên tục trên ℝ.
Phân tích chi tiết:
Hàm số đã cho là một hàm phân thức. Hàm phân thức sẽ không liên tục tại những điểm mà mẫu thức bằng 0. Trong trường hợp này, mẫu thức là x + 2.
x + 2 = 0 <=> x = -2
Vậy, hàm số không xác định tại x = -2, do đó nó không liên tục tại điểm này và cũng không liên tục trên tập số thực R.
Các hàm số khác có thể liên tục trên R hay không? Chúng ta cùng xem xét một số loại hàm số phổ biến:
- Hàm đa thức: Các hàm đa thức (ví dụ: y = x^2 + 3x – 5) liên tục trên toàn bộ tập số thực R.
- Hàm lượng giác: Các hàm sin(x) và cos(x) liên tục trên R. Tuy nhiên, các hàm tan(x), cot(x), sec(x) và csc(x) không liên tục trên R vì chúng không xác định tại một số điểm (ví dụ, tan(x) không xác định tại x = π/2 + kπ, với k là số nguyên).
Alt text: Đồ thị hàm số tang (tan(x)) với các đường tiệm cận đứng, cho thấy sự không liên tục tuần hoàn trên trục hoành.
- Hàm mũ và logarit: Hàm mũ y = a^x (với a > 0) liên tục trên R. Hàm logarit y = log_a(x) (với a > 0 và a ≠ 1) liên tục trên khoảng (0, +∞) nhưng không liên tục trên R vì nó không xác định với x ≤ 0.
Alt text: Đồ thị hàm logarit cơ số 2, minh họa miền xác định và tính liên tục của hàm trên khoảng dương.
- Hàm căn thức: Hàm căn bậc n của x (y = √n) liên tục trên R nếu n là số lẻ. Nếu n là số chẵn, hàm liên tục trên [0, +∞) nhưng không liên tục trên R vì nó không xác định với x < 0.
Kết luận:
Việc xác định một hàm số có liên tục trên R hay không đòi hỏi sự hiểu biết về miền xác định của hàm số đó. Các hàm phân thức, hàm lượng giác (tan, cot, sec, csc), hàm logarit và hàm căn thức (với bậc chẵn) là những ví dụ điển hình về các hàm số không liên tục trên R. Để xác định tính liên tục, cần kiểm tra xem hàm số có xác định tại mọi điểm trên R hay không, và liệu có tồn tại điểm nào mà tại đó hàm số bị gián đoạn hay không.
